正題

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題目大意

給出長(zhǎng)度為$n$的序列$A,B$。要求劃分成若干段滿足

對(duì)于任何$i<j$，若$i$和$j$不是同一段的，要求滿足$B_i>A_j$

每一段$A_i$的最大值的和不能超過(guò)$m$

要求最小化每一段$B_i$和的最大值。

$n\in [1,10^5],A_i,B_i\in [1,10^9],m\in [1,10^{12}]$

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解題思路

最大值最小化很顯然直接二分，然后變?yōu)榍竺恳欢?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$A_i$最大值的和的最小值。

第一個(gè)條件相當(dāng)于限制了什么位置能夠作為劃分段的末尾，求一個(gè)前綴$min\{b_i\}$和一個(gè)后綴$max\{a_i\}$能夠快速求出這些位置。

然后考慮$dp$，轉(zhuǎn)移方程就是
$$f_i=min\{f_j+max\{a_k\}(k\in (j,i])\}$$

二分的條件限制了$j$的范圍，加個(gè)指針就好了

這個(gè)東西好像很難搞，但是注意到$v_j=max\{a_k\}$這一部分是遞減的，并且每次會(huì)讓所有$v_i$的一起和一個(gè)一起取$max$。

因?yàn)槭沁f減的，所以每次加入一個(gè)新的就相當(dāng)于修改一段后綴的$v_i$，然后求一個(gè)區(qū)間的最大$f_i+v_i$了。

可以線段樹(shù)維護(hù)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)維護(hù)該區(qū)間最大的$f_i+v_i$和最大的$f_i$。區(qū)間推平$v_i$的時(shí)候就可以拿最大的$f_i$來(lái)更新$f_i+v_i$

時(shí)間復(fù)雜度$O(n\log n\log \sum b_i)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e5+10,inf=1e9+7; ll n,m,a[N],b[N],pre[N],suf[N],last[N]; ll lg[N],st[N][17],v[N<<2],w[N<<2],lazy[N<<2]; void Downdata(ll x){if(!lazy[x])return;lazy[x*2]=lazy[x*2+1]=lazy[x];w[x*2]=v[x*2]+lazy[x];w[x*2+1]=v[x*2+1]+lazy[x];lazy[x]=0;return; } void Changew(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r,ll val){if(l>r)return;if(L==l&&R==r){w[x]=v[x]+val;lazy[x]=val;return;}ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x);if(r<=mid)Changew(x*2,L,mid,l,r,val);else if(l>mid)Changew(x*2+1,mid+1,R,l,r,val);else Changew(x*2,L,mid,l,mid,val),Changew(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,val);w[x]=min(w[x*2],w[x*2+1]); } void Changev(ll x,ll l,ll r,ll pos,ll val){if(l==r){v[x]=val;w[x]=v[x]+lazy[x];return;}ll mid=(l+r)>>1;Downdata(x);if(pos<=mid)Changev(x*2,l,mid,pos,val);else Changev(x*2+1,mid+1,r,pos,val);w[x]=min(w[x*2],w[x*2+1]);v[x]=min(v[x*2],v[x*2+1]);return; } ll Ask(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r){if(L==l&&R==r)return w[x];ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x);if(r<=mid)return Ask(x*2,L,mid,l,r);if(l>mid)return Ask(x*2+1,mid+1,R,l,r);return min(Ask(x*2,L,mid,l,mid),Ask(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r)); } ll RMQ(ll l,ll r){ll z=lg[r-l+1];return max(st[l][z],st[r-(1<<z)+1][z]); } bool check(ll x){memset(v,0x3f,sizeof(v));memset(w,0x3f,sizeof(w));memset(lazy,0,sizeof(lazy));ll sum=0,l=0,tmp=v[0];Changev(1,0,n,0,0);for(ll i=1;i<=n;i++){sum+=b[i];while(sum>x)l++,sum-=b[l];Changew(1,0,n,last[i],i-1,a[i]);if(pre[i]<=suf[i+1])continue;tmp=Ask(1,0,n,l,i);Changev(1,0,n,i,tmp);}return (tmp<=m); } signed main() {freopen("sequence.in","r",stdin);freopen("sequence.out","w",stdout);scanf("%lld%lld",&n,&m);ll l=1,r=0;pre[0]=inf;for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]),r+=b[i],l=max(l,b[i]),st[i][0]=a[i];for(ll i=2;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;for(ll j=1;(1<<j)<=n;j++)for(ll i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<j-1)][j-1]);for(ll i=1;i<=n;i++){ll l=1,r=i-1;while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;if(RMQ(mid,i)>a[i])l=mid+1;else r=mid-1;}last[i]=r;}for(ll i=1;i<=n;i++)pre[i]=min(pre[i-1],b[i]);for(ll i=n;i>=1;i--)suf[i]=max(suf[i+1],a[i]);while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;if(check(mid))r=mid-1;else l=mid+1;}check(l+1);printf("%lld\n",l); } 創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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