正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4451

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題目大意

給出$n$，對于所有滿足${\sum }_{i=1}^m{a}_i=n$且$?a_i\in N^{+}$的序列求
$$\sum _{m=1}^{\infty }\prod _{i=1}^{m}Fb{i}_{a_i}$$
其中$Fb{i}_x$表示第$x$個斐波那契數

$1\le n\le 10^{10^4}$

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解題思路

因為剛學特征方程所以推的都會寫下來，比較冗長

首先考慮斐波那契的生成函數$F(x)={\sum }_{i=0}^{n}Fb{i}_i{x}^i$
那么有$F(x)=x^{2}F(x)+xF(x)+x$，可以解得$F(x)=\frac{x}{1?x?x^2}$。

然后答案就是
$$\sum _{i=0}^{\infty }F(x{)}^i=\frac{1}{1?F(x)}=\frac{1}{1?\frac{x}{1?x?x^2}}=\frac{1?x?x^2}{1?2x?x^2}$$
然后$\frac{1}{1?2x?x^2}$是一個特征方程為$1?2x?x^2$的遞推式，也就是$a_n=2a_{n?1}+a_{n?2}$。
然后$G(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i{x}^i$，那么答案就是
$$(1?x?x^2)G(x)=\sum _{i=0}^{\infty }(a_i?a_{i?1}?a_{i?2})x^i=\sum _{i=0}^{\infty }{a}_{i?1}{x}^i$$

所以我們要求的第$n$項就是$a_{n?1}$

用特征方程化前面那個遞推式了，解出$1?2x?x^2=0$有$x_0=\sqrt{2}+1,x_1=?\sqrt{2}+1$
然后設$a_n=c_0{x}_0^n+c_1{x}_1^n$帶入$a_0=1$和$a_1=2$有方程
$$\{\begin{array}{c}{c}_0+c_1=1\\ c_0(\sqrt{2}+1)+c_1(?\sqrt{2}+1)=2\end{array}$$
解出來就是
$$\{\begin{array}{c}{c}_0=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\\ c_1=\frac{2?\sqrt{2}}{4}\end{array}$$
然后我們就有
$$a_n=\frac{2+\sqrt{2}}{4}(\sqrt{2}+1{)}^n+\frac{2?\sqrt{2}}{4}(?\sqrt{2}+1{)}^n$$

然后二次剩余跑出來在模$10^9+7$下$\sqrt{2}=59713600$帶進去做就好了。

時間復雜度$O(\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll g2=59713600,P=1e9+7; char s[11000];ll n; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } signed main() {scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);ll p=0;for(ll i=1;i<=n;i++)p=(p*10+s[i]-'0')%(P-1);ll inv=(P+1)/4;ll c1=(2-g2+P)%P*inv%P,c2=(2+g2)*inv%P;ll t1=c1*power(P-g2+1,p)%P*power(P-g2+1,P-2)%P;ll t2=c2*power(g2+1,p)%P*power(g2+1,P-2)%P;printf("%lld\n",(t1+t2)%P);return 0; }

總結

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