正題

題目鏈接:http://www.ybtoj.com.cn/contest/125/problem/2

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題目大意

給出$n$個(gè)點(diǎn)的一棵樹，以$1$為根，每個(gè)點(diǎn)有點(diǎn)權(quán)$a_i$。要求支持$m$次操作

修改一個(gè)修改一個(gè)節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)

修改一條路徑的權(quán)值為$w$

給出$u$詢問$Fbi(a_u)$

給出$u,v$，將路徑$u?>v$的點(diǎn)權(quán)排列好后設(shè)為$b$求
$$\sum _{i=1}^k\sum _{j=i}^{k}Fbi(\sum _{z=i}^j{b}_z)$$

其中$Fbi(i)$表示第$i$個(gè)斐波那契數(shù)。輸出答案模$998244353$的值

$1\le n,m\le 10^5,a_i,w\in [1,10^9]$

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解題思路

嗯這個(gè)斐波那契很麻煩，可以考慮一些用特征方程$1?x?x^2=0$，可以得到斐波那契的通項(xiàng)公式
$$Fbi(n)=\frac{(\frac{\sqrt{5}+1}{2}{)}^n?(\frac{\sqrt{5}?1}{2}{)}^n}{\sqrt{5}}$$
為了方便上面$\frac{\sqrt{5}\pm 1}{2}$分別記為$X_0,X_1$。
那么如果設(shè)$c_i=X_0^{a_i},d_i=X_1^{a_i}$的話我們要求的就是
$$\frac{{\sum }_{i=1}^k{\sum }_{j=i}^k{\prod }_{z=i}^j{c}_z?{\sum }_{i=1}^k{\sum }_{j=i}^k{\prod }_{z=i}^j{d}_z}{\sqrt{5}}$$
這個(gè)好像看起來好維護(hù)一點(diǎn)，不過首先我們要解決這個(gè)$\sqrt{5}$的問題，因?yàn)槠鋵?shí)$\sqrt{5}$在模$998244353$意義下是沒有值的，我們不能直接用二次剩余帶入數(shù)字。

考慮維護(hù)一個(gè)類似于多項(xiàng)式的東西，每個(gè)數(shù)字記為二元組$(a,b)=a\sqrt{5}+b$。加減乘都很好搞，除法的話需要推導(dǎo)一下，
$$\frac{1}{a\sqrt{5}+b}=c\sqrt{5}+d$$
$$5ac+\sqrt{5}(ad+cb)+bd=1$$
$$5ac+bd=1,ad+cb=0$$
解出來$$c=?\frac{a}{b^2?5a^2},d=\frac{b}{b^2?5a^2}$$
這樣四則運(yùn)算都搞定了，可以開始考慮如何在$LCT$上面維護(hù)了。

類似線段樹的，設(shè)$pro$表示所有數(shù)乘積，$pre/suf$表示所有前/后綴乘積和，$ans$表示我們維護(hù)的答案，那么就可以合并兩個(gè)東西了。$LCT$維護(hù)的時(shí)候順便把單個(gè)的節(jié)點(diǎn)也合并進(jìn)去就好了。

然后還剩下一個(gè)最麻煩的東西就是樹鏈修改的時(shí)候我們需要快速算出連續(xù)$x$個(gè)$u$的信息。
$pro$很好搞就是$u^x$，$suf$和$pre$就是一個(gè)簡(jiǎn)單的等比數(shù)列求和，上通項(xiàng)公式就好了。
$ans$比較麻煩，考慮每個(gè)$u^i$的個(gè)數(shù)答案就是
$$\sum _{i=1}^x{u}^i(x?i+1)=(x+1)\sum _{i=1}^x{u}^i?\sum _{i=1}^x{u}^{i}i$$
$$?(x+1)\frac{u^{x+1}?u}{u?1}?\frac{x{u}^{x+1}?\frac{u^x?u}{u?1}}{u?1}$$
這樣就可以在$log$時(shí)間復(fù)雜度以內(nèi)合并了。

然后答案$0$次項(xiàng)一定是$0$的，所以輸出$\sqrt{5}$的項(xiàng)就好了。
時(shí)間復(fù)雜度$O(n{\log }^{2}n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #define ll long long using namespace std; const ll P=998244353,N=1e5+10; struct node{ll a,b;//a帶√5 node(ll aa=0,ll bb=0){a=aa;b=bb;return;} }; ll power(ll x,ll b=P-2){ll ans=1;x%=P;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } const node X((P+1)/2,(P+1)/2); node operator+(node x,node y) {return node((x.a+y.a)%P,(x.b+y.b)%P);} node operator-(node x,node y) {return node((x.a-y.a)%P,(x.b-y.b)%P);} node operator*(node x,node y) {return node((x.a*y.b+x.b*y.a)%P,(x.b*y.b+5*x.a*y.a)%P);} node inv(node x){ll tmp=power(x.b*x.b-5*x.a*x.a);return node(-x.a,x.b)*node(0,tmp); } node power(node x,ll b){node ans(0,1);while(b){if(b&1)ans=ans*x;x=x*x;b>>=1;}return ans; } struct Tnode{node ans,pre,suf,pro; }; Tnode operator+(Tnode x,Tnode y){Tnode w;w.ans=x.ans+y.ans+x.suf*y.pre;w.pre=x.pre+y.pre*x.pro;w.suf=y.suf+x.suf*y.pro;w.pro=x.pro*y.pro;return w; } struct SegTree{ll fa[N],t[N][2],siz[N];Tnode w[N];node v[N],lazy[N];bool r[N],hlz[N];stack<ll> s;bool Nroot(ll x){return fa[x]&&(t[fa[x]][0]==x||t[fa[x]][1]==x);}bool Direct(ll x){return t[fa[x]][1]==x;}void Rev(ll x){swap(t[x][0],t[x][1]);swap(w[x].pre,w[x].suf);r[x]^=1;return;}void PushUp(ll x){siz[x]=siz[t[x][0]]+siz[t[x][1]]+1;w[x]=(Tnode){v[x],v[x],v[x],v[x]};if(t[x][0])w[x]=w[t[x][0]]+w[x];if(t[x][1])w[x]=w[x]+w[t[x][1]];return;}void Updata(ll x,node u){ll s=siz[x];lazy[x]=v[x]=u;node tmp=inv(node(0,1)-u);hlz[x]=1; w[x].pro=power(u,s);w[x].pre=w[x].suf=(u-w[x].pro*u)*tmp;w[x].ans=(node(0,s)-w[x].pre)*u*tmp;return;}void PushDown(ll x){if(hlz[x]){if(t[x][0])Updata(t[x][0],lazy[x]);if(t[x][1])Updata(t[x][1],lazy[x]);hlz[x]=0;}if(!r[x])return;Rev(t[x][0]);Rev(t[x][1]);r[x]=0;return;}void Rotate(ll x){ll y=fa[x],z=fa[y];ll xs=Direct(x),ys=Direct(y);ll w=t[x][xs^1];if(Nroot(y))t[z][ys]=x;t[x][xs^1]=y;t[y][xs]=w;if(w)fa[w]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;PushUp(y);PushUp(x);return;}void Splay(ll x){ll y=x;s.push(x);while(Nroot(y))y=fa[y],s.push(y);while(!s.empty())PushDown(s.top()),s.pop();while(Nroot(x)){ll y=fa[x];if(!Nroot(y))Rotate(x);else if(Direct(x)==Direct(y))Rotate(y),Rotate(x);else Rotate(x),Rotate(x);}return;}void Access(ll x){for(ll y=0;x;y=x,x=fa[x])Splay(x),t[x][1]=y,PushUp(x);return;}void MakeRoot(ll x){Access(x);Splay(x);Rev(x);return;}void Link(ll x,ll y){MakeRoot(1);Access(x);Splay(x);fa[t[x][0]]=0;t[x][0]=0;PushUp(x);fa[x]=y;return;}ll Split(ll x,ll y){MakeRoot(x);Access(y);Splay(y);return (w[y].ans.a+P)%P*2%P;}void Change(ll x,ll y,node val){MakeRoot(x);Access(y);Splay(y);Updata(y,val);return;} }T; ll n,m; signed main() { // freopen("fibonacci.in","r",stdin); // freopen("fibonacci.out","w",stdout);scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=n;i++){ll x;scanf("%lld",&x);T.v[i]=power(X,x);T.PushUp(i);}for(ll i=2;i<=n;i++)scanf("%lld",&T.fa[i]);while(m--){ll op,u,v,w;scanf("%lld",&op);if(op==1){scanf("%lld%lld",&u,&v);T.Link(u,v);}else if(op==2){scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);T.Change(u,v,power(X,w));}else if(op==3){scanf("%lld",&u);printf("%lld\n",T.Split(u,u));}else if(op==4){scanf("%lld%lld",&u,&v);printf("%lld\n",T.Split(u,v));}}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的YbtOJ#732-斐波那契【特征方程,LCT】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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