正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4457

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題目大意

開始一個人最大生命值為$n$，剩余$hp$點生命，然后每個時刻如果生命值沒有滿那么有$\frac{1}{m+1}$的概率回復一點生命，然后敵人攻擊$k$次，每次有$\frac{1}{m+1}$概率造成一點傷害。

求期望多少次后生命值降到$0$或以下。

$1\le T\le 100,1\le n\le 1500,1\le m,k\le 10^9$

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解題思路

$dp$方程還是很好推的，設$p_i$表示在敵人攻擊時受到$i$點傷害的概率，那么就是
$$p_i=(\frac{1}{m+1}{)}^i(\frac{m}{m+1}{)}^{k?i}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)$$
的概率，這個$i$只需要計算到$n$就好了。

然后設$f_i$表示剩余$i$點生命時期望還需要打多久
然后枚舉一個$j$表示本回合受到的傷害，分成回復了生命或者沒有回復生命兩種情況，方程就是
$$f_i=\frac{1}{m+1}(\sum _{j=0}^i{p}_j{f}_{i?j+1})+\frac{m}{m+1}(\sum _{j=0}^{i?1}{p}_j{f}_{i?j}+1)$$
當然$f_n$需要特殊處理
$$f_n=\sum _{i=0}^n{p}_i{f}_{n?i}+1$$
發現這個方程是有前有后的環狀轉移，但是暴力高斯消元$O(n^3)$的時間復雜度接受不了。

不難發現的是我們現在的方程矩陣其實就是一個下三角矩陣再往右擴一列。我們可以先$O(n^2)$把這個下三角消成對角線然后第$i$列就只有$i$和$i+1$兩個系數了，反過來再消一次就好了。

時間復雜度$O(T{n}^2)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1600,P=1e9+7; ll T,n,hp,m,k,a[N][N],b[N]; ll inv[N],p[N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } ll C(ll n,ll m){ll ans=1;for(ll i=n-m+1;i<=n;i++)ans=ans*i%P;return ans*inv[m]%P; } signed main() {inv[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;inv[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&hp,&m,&k);ll invm=power(m+1,P-2);if(!k||k==1&&!m){puts("-1");continue;}else if(!m){ll ans=0;while(hp>0){if(hp<n)hp++;hp-=k;ans++;}printf("%lld\n",ans);continue;}ll tmp=power(invm,k);for(ll i=0;i<=min(k,n);i++)p[i]=tmp*power(m,k-i)%P*C(k,i)%P;memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));for(ll i=0;i<=min(k,n-1);i++)a[n][n-i]=P-p[i];a[n][n]++;b[n]++;for(ll i=1;i<n;i++){a[i][i]=1;b[i]=1;for(ll j=0;j<=min(k,i-1);j++)(a[i][i-j]+=P-invm*m%P*p[j]%P)%=P;for(ll j=0;j<=min(k,i);j++)(a[i][i-j+1]+=P-invm*p[j]%P)%=P;}for(ll i=1;i<=n;i++){ll inv=power(a[i][i],P-2);a[i][i]=1;b[i]=b[i]*inv%P;a[i][i+1]=a[i][i+1]*inv%P;for(ll j=i+1;j<=n;j++){ll rate=P-a[j][i];a[j][i]=0;(a[j][i+1]+=a[i][i+1]*rate)%=P;(b[j]+=b[i]*rate)%=P;}}for(ll i=n-1;i>=1;i--){ll rate=P-a[i][i+1];b[i]=(b[i]+rate*b[i+1])%P;}printf("%lld\n",(b[hp]+P)%P);}return 0; }

總結

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