正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4201

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題目大意

給出$n$個點的一棵樹開始所有邊都是白色，選出若干條沒有公共點的路徑將上面所有邊變為黑色。

要求所有點到$1$號點的路徑上經過的白色邊的數量的最大值最小。

求最小值和方案數

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解題思路

直接記錄最小值的樹形$dp$可以計算出第一個答案，但是第二個答案就有點麻煩了，因為有的不取最小值也不一定影響答案。

而可以發現如果按照樹鏈剖分的思路來做答案是不會超過${\log }_{2}n$的，進一步證明的話其實可以得到答案不會超過${\log }_{3}n$的結論，因為一個頂部節點實際上是可以延伸出$2$條路徑的。

這樣就可以直接$dp$了，設$f_{i,j,0/1/2}$表示到節點$i$，最大值為$j$，節點$i$已經往子樹中延伸了$0/1/2$條路徑時的方案數。

那么轉移起來就很方便了，需要注意答案可能是模數的倍數，所以我們需要另開一個變量來記錄每種情況是否有可能。

時間復雜度$O(n{\log }_{3}n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e5+10; struct node{ll to,next; }a[N<<1]; ll n,m,P,tot,ls[N],f[N][12][3]; bool v[N][12][3]; void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return; } void dp(ll x,ll fa){for(ll i=1;i<=11;i++)f[x][i][0]=v[x][i][0]=1;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;dp(y,x);for(ll j=1;j<=11;j++){ll cho=(f[y][j-1][0]+f[y][j-1][1]+f[y][j-1][2])%P;ll che=(f[y][j][0]+f[y][j][1])%P;ll chv=v[y][j-1][0]|v[y][j-1][1]|v[y][j-1][2];ll chn=v[y][j][0]|v[y][j][1];(f[x][j][2]=f[x][j][1]*che+f[x][j][2]*cho)%=P;(f[x][j][1]=f[x][j][0]*che+f[x][j][1]*cho)%=P; (f[x][j][0]*=cho)%=P;v[x][j][2]=v[x][j][1]&chn|v[x][j][2]&chv;v[x][j][1]=v[x][j][0]&chn|v[x][j][0]&chv; v[x][j][0]&=chv;}}return; } signed main() {scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&P);if(m!=n-1)return printf("-1\n-1")&0;for(ll i=1;i<=m;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x); }dp(1,1);for(ll i=1;i<=11;i++){ll p=v[1][i][0]|v[1][i][1]|v[1][i][2];if(!p)continue;printf("%lld\n%lld",i-1,(f[1][i][0]+f[1][i][1]+f[1][i][2])%P);break;}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P4201-[NOI2008]设计路线【结论,树形dp】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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