正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6076

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題目大意

給出$n?m$的網格，$c$種顏色涂色要求

每個格子可以染色也可以不染

每一行每一列至少有一個格子被染

每個顏色至少用一次

$1\le n,m,c\le 400$

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解題思路

一個比較簡單的方法就是容斥，枚舉有多少染色的和不染色的行列，和枚舉使用的顏色個數
$$\sum _{i=0}^c\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)(i+1{)}^{j+k}(?1{)}^{c+n+m?i?j?k}$$

這樣預處理就是$O(nmc)$的，但是可以做到更快。

設$f_i$表示最多染了$i$種顏色的方案，那么久只需要滿足第二個條件了。第二個條件可以用一個容斥搞定，考慮枚舉多少行沒染
$$f_k=\sum _{i=1}^n(?1{)}^{n?i}((k+1{)}^m?1{)}^i$$
這樣預處理就可以做到$O(nc)$

這里寫的是第一種，因為比較懶

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=410,P=1e9+7; ll n,m,c,C[N][N],pw[N*N],ans; signed main() {scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&c);C[0][0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)for(ll j=0;j<N;j++)C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P; for(ll i=0;i<=c;i++){pw[0]=1;for(ll j=1;j<=n*m;j++)pw[j]=pw[j-1]*(i+1)%P;for(ll j=0;j<=n;j++)for(ll k=0;k<=m;k++){ll f=(c-i)+(n-j)+(m-k);if(f&1)f=-1;else f=1;(ans+=f*C[n][j]*C[m][k]%P*C[c][i]%P*pw[j*k]%P)%=P;}}printf("%lld\n",(ans+P)%P);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P6076-[JSOI2015]染色问题【组合数学,容斥】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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