正題

題目鏈接:http://poj.org/problem?id=3734

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題目大意

用思種顏色給$n$個(gè)格子染色，要求前兩種顏色出現(xiàn)偶數(shù)次，求方案。

$1\le T\le 100,1\le n\le 10^9$

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解題思路

反正是$\text{EGF}$的十分入門(mén)題了。
首先是${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{i!}=e^x$。
這題帶標(biāo)號(hào)計(jì)數(shù)所以求的是
$$(\sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^{2i}}{2i!}{)}^2\times (\sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{i!}{)}^2$$
嗯，后面那個(gè)就是$e^x$，前面那個(gè)怎么搞。

考慮點(diǎn)花里胡哨的東西，$e^{?x}={\sum }_{i=0}^{\infty }(?1{)}^i\frac{x^i}{i!}$，然后我們就有
$$\sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^{2i}}{2i!}=\frac{e+e^{?x}}{2}$$
然后帶進(jìn)式子就是
$$(\frac{e^x+e^{?x}}{2}{)}^2\times e^{2x}=\frac{e^{4x}+2e^{2x}+1}{4}$$
然后$e^{ax}={\sum }_{i=0}^{\infty }{a}^i\frac{x^i}{i!}$，所以展開(kāi)一下項(xiàng)就是
$$[x^n]=\frac{4^n+2^n\times 2}{4}=4^{n?1}+2^{n?1}$$

時(shí)間復(fù)雜度$O(T\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int P=10007; int n,T; int power(int x,int b){int ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } int main() {scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&n);n--;n%=(P-1);printf("%d\n",(power(2,n)+power(4,n))%P);} }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的POJ3734-Blocks【EGF】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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