正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4126

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題目大意

給出$n$個(gè)點(diǎn)$m$條邊的一張有向圖和起點(diǎn)終點(diǎn)。對于每條邊求其是否是最小割的可行割/必須割

$1\le n\le 4000,1\le m\le 60000$

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解題思路

一些結(jié)論吧，首先是可行割，跑一次最大流，然后如果一條邊是可行割需要滿足

• 該邊滿流
• 殘量網(wǎng)絡(luò)上沒有$x,y$之間的環(huán)

首先滿流是顯然的，然后第二個(gè)結(jié)論的話，如果它們之間有環(huán)，那么從$y$順著環(huán)的方向逆流回去的話那么最大流不變但是這條邊的流量減少了。

然后必須割的話也是兩個(gè)條件

• 該邊滿流
• 殘量網(wǎng)絡(luò)上$s$能到$x$，$y$能到$t$

這個(gè)我直接搬之前的證明了

證明:在殘量網(wǎng)絡(luò)上$s$可以到達(dá)$x$且$y$可以到達(dá)$t$那么說明若該邊不割那么$s$就可以通過該邊到達(dá)$t$。假設(shè)在$s$到$x$的路上有同樣長度的一條道路且割掉后可以使$s$到達(dá)$x$那么在殘量網(wǎng)絡(luò)上該邊的流量必定為0，因?yàn)榍懈畹?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$x?>y$的流量也必定會(huì)經(jīng)過該邊所以在殘量網(wǎng)絡(luò)上$s$就不可以到達(dá)$x$了。所以該假設(shè)不成立。
證畢

所以跑完最大流再跑一次$tarjan$然后按照上面判就好了

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<queue> using namespace std; const int N=4100,M=6e4+10,inf=1e9; struct node{int to,next,w; }a[M<<1]; int n,m,s,t,tot,cnt,num,ls[N],id[M]; int dep[N],dfn[N],low[N],col[N]; bool ins[N]; stack<int> st;queue<int> q; void addl(int x,int y,int w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;a[++tot].to=x;a[tot].next=ls[y];ls[y]=tot;a[tot].w=0;return; } bool bfs(){while(!q.empty())q.pop();q.push(s);memset(dep,0,sizeof(dep));dep[s]=1;while(!q.empty()){int x=q.front();q.pop();for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(dep[y]||!a[i].w)continue;dep[y]=dep[x]+1;if(y==t)return 1;q.push(y);}}return 0; } int dinic(int x,int flow){if(x==t)return flow;int rest=0,k;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(dep[x]+1!=dep[y]||!a[i].w)continue;rest+=(k=dinic(y,min(flow-rest,a[i].w)));a[i].w-=k;a[i^1].w+=k;if(rest==flow)return rest;}if(!rest)dep[x]=0;return rest; } void tarjan(int x){dfn[x]=low[x]=++cnt;ins[x]=1;st.push(x);for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(!a[i].w)continue;if(!dfn[y]){tarjan(y);low[x]=min(low[x],low[y]);}else if(ins[y])low[x]=min(low[x],dfn[y]);}if(low[x]==dfn[x]){int k;++num;do{k=st.top();st.pop();col[k]=num;ins[k]=0;}while(k!=x);}return; } signed main() {scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);tot=1;for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,w;id[i]=tot+1;scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);addl(x,y,w);}while(bfs())dinic(s,inf);for(int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i);for(int i=1;i<=m;i++){int x=a[id[i]^1].to,y=a[id[i]].to;if(a[id[i]].w==0&&col[x]!=col[y])putchar('1');else putchar('0');putchar(' ');if(a[id[i]].w==0&&col[x]==col[s]&&col[y]==col[t])putchar('1');else putchar('0');putchar('\n');}return 0; }

總結(jié)

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