正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3343

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題目大意

給出$n$個點的一張無向圖，每條邊被修復的時間是$[0,1]$的一個隨機實數，求這張圖聯通期望時間。

$1\le n\le 10,m\le \frac{n(n?1)}{2}$

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解題思路

這個隨機實數好像是用來嚇人的（但是概率分布函數好像能搞）

假設修好了$k$條之后恰好聯通了，那么期望需要的時間就是$\frac{k}{m+1}$

好了現在要求恰好在$k$條邊修好之后聯通的方案，因為每條邊修好的先后順序是完全隨機的。

設$f_{S,i}$在生成子圖$S$中修好了$i$條邊是沒有聯通的方案，$g_{S,i}$則表示聯通了的方案，$d_S$表示生成子圖$S$的邊數。

求$f_{S,i}$的話和之前的[集訓隊作業2013]城市規劃思路很向，考慮擴展出一個新的點$k$，那么我們枚舉一個包含$k$的聯通塊$T(k\in T,T?S)$，然后合并這個聯通塊后其他的亂選，就有方程
$$f_{S,i}=\sum _{k\in T,T?S}\sum _{j=0}^{min\{d_T,i\}}{g}_{T,j}\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_{S?T}}{i?j}\right)$$
然后$g_{S,i}$不需要專門的方程因為有$f_{S,i}+g_{S,i}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_S}{i}\right)$

然后答案就是
$$\sum _{i=0}^m\frac{i}{m+1}(\frac{f_{G,i}}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_G}{i}\right)}?\frac{f_{S,i?1}}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_G}{i?1}\right)})=\frac{1}{m+1}\sum _{i=0}^m\frac{f_{G,i}}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_G}{i}\right)}$$

時間復雜度$O(3^n{n}^2)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=10; ll n,m,e[1<<N],d[1<<N],g[1<<N][N*N/2],f[1<<N][N*N/2],C[51][51]; signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);x--;y--;e[(1<<x)|(1<<y)]++;}ll MS=(1<<n);for(ll s=0;s<MS;s++)for(ll t=s;t;t=(t-1)&s)d[s]+=e[t];C[0][0]=1;for(ll i=1;i<=50;i++)for(ll j=0;j<=50;j++)C[i][j]=(j?C[i-1][j-1]:0)+C[i-1][j];for(ll s=1;s<MS;s++){for(ll i=0;i<=d[s];i++){ll k=s&-s;for(ll t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s)if(t&k)for(ll j=0;j<=min(i,d[t]);j++)f[s][i]+=g[t][j]*C[d[s-t]][i-j];g[s][i]=C[d[s]][i]-f[s][i];}}double ans=0;for(ll k=0;k<=m;k++)ans+=(double)f[MS-1][k]/C[m][k];printf("%.6lf\n",ans/(double)(m+1));return 0; }

總結

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