正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2179

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題目大意

給出$E$和$n$個$s_i,k_i,u_i$求一個序列$v_i$滿足
$$\sum _{i=1}^n{k}_i{s}_i(v_i?u_i{)}^2\le E$$
的情況下最小化
$$\sum _{i=1}^n\frac{s_i}{v_i}$$

$1\le n\le 10^4$

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解題思路

洛谷題解上一個十分神奇的做法看起來。（主要是看不懂拉格朗日乘數法/kk）

首先考慮對于段路的行駛時間$t_i=\frac{s_i}{v_i}$，我們可以畫出消耗的能量$E$和$t_i$的函數。

對于函數$f(E)=t_i$不難發現的是在$v_i\ge u_i$的情況下$E$越小這個函數對應位置的導數越小。

也就是消耗單位能量減少的時間也就越少，性價比就越低。而我們現在要給每段路分配一個$t_i$使得消耗能量和等于$E$且$t_i$和最小的話。

根據貪心的思想有選出若干個的$t_i$滿足對應位置的導數相等。

那么我們就找到了所有路的共性，考慮二分這個導數，但是我們先對這個函數$f(v)=\frac{t}{E}$求個導。

$$t^{\prime }=?\frac{s}{v_i^2},E^{\prime }=2k_i{s}_i(v_i?u_i)$$
$$f^{\prime }(v)=\frac{t^{\prime }}{E^{\prime }}=?\frac{s}{2k_i{s}_i{v}_i^2(v_i?u_i)}$$

然后我們二分出$f^{\prime }(v_i)=x$然后再二分出對應的速度$v_i$就好了。

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e4+10; int n;double E,s[N],k[N],v[N]; double getv(double x,int p){double l=max(v[p],0.0),r=100000;for(int i=1;i<=100;i++){double V=(l+r)/2.0;if(-2.0*k[p]*V*V*x*(V-v[p])<1.0)l=V;else r=V;}return (l+r)/2.0; } double check(double x){double E=0;for(int i=1;i<=n;i++){double V=getv(x,i);E+=k[i]*s[i]*(V-v[i])*(V-v[i]);}return E; } int main() {scanf("%d",&n);scanf("%lf",&E);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]);double l=-1e5,r=0;for(int i=1;i<=100;i++){double mid=(l+r)/2.0;if(check(mid)<=E)l=mid;else r=mid;}double mid=(l+r)/2.0,ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)ans+=s[i]/getv(mid,i);printf("%.12lf\n",ans);return 0; }

總結

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