正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5180

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題目大意

給出$n$個點的一張有向圖，求每個點支配的點數量。

$1\le n\le 2\times 10^5,1\le m\le 3\times 10^5$

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解題思路

首先定義半支配點$sem{i}_x$表示對于點$x$尋找一個$dfn$序最小的點$y$滿足存在一條$y$到$x$的路徑去掉頭尾之后所有點的$dfn$序都大于$x$的。

考慮怎么求每個點的半支配點，考慮兩種情況對于一個能夠直接到達$x$的點$y$

$df{n}_y<df{n}_x$：那么$y$可能是$x$的半支配點

$df{n}_y>df{n}_x$：那么設$v$表示$y$到$dfs$根節點的路徑上的某個點$u$的$dfn$序最小的半支配點，那么$v$可能是$u$的半支配點

主要是第二種情況我們相當于要找一個在某個點到根節點路徑上的點使得它的半支配點$dfn$序最小。

那么可以考慮倒序枚舉，然后用帶權并查集維護那個半支配點編號最小的。

之后就是半支配點有什么用，大概就是半支配點向點連邊那么新的圖支配關系不變。

所以一種暴力的做法就是直接跑$DAG$的支配樹求法，但是有更快的。

考慮對于一個點$x$和它的半支配點$y$，如果$y$到$x$的路徑上我們找到一個半支配點$dfn$序最小的節點$u$且它的半支配點為$v$。
那么如果

$v=y$，那么證明整條路徑上沒有$dfn$序更小的半支配點，$y$就是$x$的支配點。

$d_u>d_y$，那么顯然$u$有更小的支配點支配這套路徑，所以$u$的支配點就是$y$的支配點

這個過程中$u$和$v$的維護和上面一樣，所以可以一起求解。

但是我們可以暫時不知道$u$的支配點，所以可以先記錄，最后在正序的記回去。

時間復雜度$O(n\alpha (n))$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; const int N=2e5+10; int n,m,cnt,dfn[N],rfn[N],anc[N],ans[N]; int semi[N],idom[N],pt[N],fa[N]; vector<int>G[N],D[N],T[N]; void tarjan(int x){dfn[x]=++cnt;rfn[cnt]=x;for(int i=0;i<G[x].size();i++){int y=G[x][i];if(!dfn[y])anc[y]=x,tarjan(y);}return; } int find(int x){if(fa[x]==x)return x;int ans=find(fa[x]);if(dfn[semi[pt[fa[x]]]]<dfn[semi[pt[x]]])pt[x]=pt[fa[x]];return (fa[x]=ans); } void GetIdom(){for(int p=n;p>=2;p--){int x=rfn[p];for(int i=0;i<D[x].size();i++){int y=D[x][i];if(!dfn[y])continue;find(y);if(dfn[semi[pt[y]]]<dfn[semi[x]])semi[x]=semi[pt[y]];}fa[x]=anc[x];T[semi[x]].push_back(x);x=anc[x];for(int i=0;i<T[x].size();i++){int y=T[x][i];find(y);idom[y]=(semi[pt[y]]==x)?x:pt[y];}T[x].clear();}for(int i=2;i<=n;i++){int x=rfn[i];if(idom[x]!=semi[x])idom[x]=idom[idom[x]];}return; } int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x].push_back(y);D[y].push_back(x);}for(int i=1;i<=n;i++)semi[i]=fa[i]=pt[i]=i;tarjan(1);GetIdom();for(int i=n;i>=1;i--){int x=rfn[i];ans[x]++;ans[idom[x]]+=ans[x];}for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",ans[i]);return 0; }

總結

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