正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4180

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題目大意

$n$個點$m$條邊的一張無向圖，求它的嚴格次小生成樹。

$1\le n\le 10^5,1\le m\le 3\times 10^5$

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解題思路

一定存在一種嚴格次小生成樹和最小生成樹只差一條邊，感性理解的話大概就是如果有兩條不同那么肯定有一條可以替換成另一條要么更優要么不變。

所以我們可以枚舉一條不選的邊$(u,v,w)$然后找到最小生成樹上$u,v$路徑最大的權值$k$替換。

但是發現有可能恰好$w=k$，所以我們不只需要統計最大的權值，還要統計一個嚴格次大的，如果等于就選擇嚴格次大的。

時間復雜度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e5+10,T=18; struct enode{ll x,y,w,v; }e[3*N]; struct node{ll to,next,w; }a[N<<1]; ll n,m,tot,ls[N],fa[N],dep[N]; ll ans,sum,f[N][T],g[N][T][2]; bool cmp(enode x,enode y) {return x.w<y.w;} ll find(ll x) {return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));} void addl(ll x,ll y,ll w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;return; } void dfs(ll x,ll fa){dep[x]=dep[fa]+1;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;f[y][0]=x;g[y][0][0]=a[i].w;dfs(y,x);}return; } void calc(ll &mx,ll &mi,ll x){if(x>mx)mi=mx,mx=x;else if(x>mi&&x!=mx)mi=x;return; } void calccc(ll x,ll y,ll w){if(x==y)return;if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);ll mx=-1,mi=-1;for(ll i=T-1;i>=0;i--)if(dep[f[y][i]]>=dep[x]){calc(mx,mi,g[y][i][0]);calc(mx,mi,g[y][i][1]);y=f[y][i];}if(x!=y){for(ll i=T-1;i>=0;i--)if(f[x][i]!=f[y][i]){calc(mx,mi,g[x][i][0]);calc(mx,mi,g[x][i][1]);calc(mx,mi,g[y][i][0]);calc(mx,mi,g[y][i][1]);x=f[x][i];y=f[y][i];}calc(mx,mi,g[x][0][0]);calc(mx,mi,g[x][0][1]);calc(mx,mi,g[y][0][0]);calc(mx,mi,g[y][0][1]);}if(w!=mx)ans=min(ans,sum+w-mx);else if(mi>=0)ans=min(ans,sum+w-mi);return; } signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=m;i++)scanf("%lld%lld%lld",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].w);sort(e+1,e+1+m,cmp);for(ll i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);if(x==y)continue;addl(e[i].x,e[i].y,e[i].w);addl(e[i].y,e[i].x,e[i].w);fa[x]=y;e[i].v=1;sum+=e[i].w;}memset(g,-1,sizeof(g));dfs(1,1);for(ll j=1;j<T;j++)for(ll i=1;i<=n;i++){f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];calc(g[i][j][0],g[i][j][1],g[i][j-1][0]);calc(g[i][j][0],g[i][j][1],g[i][j-1][1]);calc(g[i][j][0],g[i][j][1],g[f[i][j-1]][j-1][0]);calc(g[i][j][0],g[i][j][1],g[f[i][j-1]][j-1][1]);}ans=1e18;for(ll i=1;i<=m;i++)if(!e[i].v)calccc(e[i].x,e[i].y,e[i].w);printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P4180-[BJWC2010]严格次小生成树【Kruskal,倍增】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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