正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7736

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題目大意

有$k$層的圖，第$i$層有$n_i$個點，每層的點從上到下排列，層從左到右排列。再給出連接相鄰層的一些有向邊（從$i$層連向$i+1$層）。
對于$n_1$層每個點作為起點同時出發走到不同的$n_k$層的點的所有路徑方案中，交點數量為偶數的減去為奇數的方案有多少個。

$1\le k\le 100,2\le n_1\le 100,n_1=n_k,n_1\le n_i\le 2\times n_1,1\le T\le 5$

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解題思路

分析一下，若第$1$層起點$1,2$分別對應終點$1,2$，記$f_{i,1/2}$表示$1/2$在第$i$層的位置。中間某個位置他們路徑有了交點，那么一定滿足他們存在一層使得$f_{i,1}>f_{i,2}$但是因為$f_{1,1}<f_{1,2}$且$f_{n,1}<f_{n,2}$也就是說明前后都各有一個交點。
拓展一下也就是說中間的路徑走法不影響交點的奇偶性，只有起點和終點會影響奇偶性。再進一步說，路徑交點的奇偶性就是起點對應終點的排列$p_i$的逆序對數量的奇偶性。

設排列$p$表示起點$i$會走到終點$p_i$，$\sigma (p)$表示排列$p$的逆序對數量，$w(p)$表示排列$p$的路徑方案
那么答案就是
$$\sum (?1{)}^{\sigma (p)}w(p)$$
發現和$LGV$引理的式子一模一樣，直接上就好了

時間復雜度$O(T(k^{2}n+n^3))$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cctype> #include<vector> #define ll long long using namespace std; const ll N=210,P=998244353; ll T,k,n[N],m[N],f[N][N],a[N][N]; vector<int> G[N][N]; ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}return x*f; } ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } ll det(ll n){ll ans=1,f=1;for(ll i=1;i<=n;i++){for(ll j=i;j<=n;j++)if(a[j][i]){if(j!=i)swap(a[j],a[i]),f=!f;break;}ll inv=power(a[i][i],P-2);ans=ans*a[i][i]%P;for(ll j=i;j<=n;j++)a[i][j]=a[i][j]*inv%P;for(ll j=i+1;j<=n;j++){ll rate=P-a[j][i];for(ll k=i;k<=n;k++)(a[j][k]+=rate*a[i][k]%P)%=P;}}return f?ans:((P-ans)%P); } signed main() {T=read();while(T--){k=read();for(ll i=1;i<=k;i++)n[i]=read();for(ll i=1;i<k;i++)m[i]=read();for(ll i=1;i<k;i++){for(ll j=1;j<=m[i];j++){ll x=read(),y=read();G[i][x].push_back(y);}}for(ll i=1;i<=n[k];i++){f[k][i]=1;f[k][i-1]=0;for(ll j=k-1;j>=1;j--)for(ll x=1;x<=n[j];x++){f[j][x]=0;for(ll p=0;p<G[j][x].size();p++)(f[j][x]+=f[j+1][G[j][x][p]])%=P;}for(ll j=1;j<=n[1];j++)a[j][i]=f[1][j];}f[k][n[k]]=0;printf("%lld\n",det(n[1]));for(ll i=1;i<=k;i++)for(ll j=1;j<=n[i];j++)G[i][j].clear();}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P7736-[NOI2021]路径交点【LGV引理】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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