正題

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題目大意

一張隨機的$n$個點的競賽圖，給出它的$m$條相互無交簡單路徑，求這張競賽圖的期望強聯通分量個數。

$1\le n,m\le 10^5$

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解題思路

先考慮$m=0$的做法，此時我們考慮一個強聯通塊的貢獻，注意到競賽圖中強聯通塊的會構成一條鏈的形式，枚舉一個大小$S$，那么此時聯通塊內到聯通塊外的邊方向確定，那么這個聯通塊產生貢獻的的概率就是${\frac{1}{2}}^{S(n?S)}$，選出這個聯通塊的方案就是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$。
那么答案就是
$$\sum _{i=1}^n{\frac{1}{2}}^{S(n?S)}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$$

考慮包含給出路徑的情況，因為無交，所以點的編號不影響答案，只有路徑長度影響方案。

考慮一條路徑對一個強聯通分量造成的貢獻，考慮如果一條鏈的一半在這個塊內，一條在這個塊外，那么就會確定一條邊的方案。所以除數要除以$2$。

把單點看成鏈的話，那么一個塊由多條鏈組成，對于每條鏈構建一個形如
$$1+2x+2x^2+...+2x^{l?1}+x^{l?1}$$
的多項式，然后跑分治$NTT$乘起來再用上面的式子做就好了。

時間復雜度$O(n{\log }^{2}n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cctype> #define ll long long using namespace std; const ll N=4e5+10,T=20,P=998244353; struct Poly{ll a[N],n; }F[T]; ll n,m,a[N],r[N],x[N],y[N]; bool v[T]; ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}return x*f; } ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll tmp=power(3,(P-1)/p),len=p>>1;if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return; } void Mul(Poly &F,Poly &G){ll n=1;while(n<F.n+G.n)n<<=1;for(ll i=0;i<F.n;i++)x[i]=F.a[i];for(ll i=0;i<G.n;i++)y[i]=G.a[i];for(ll i=F.n;i<n;i++)x[i]=0;for(ll i=G.n;i<n;i++)y[i]=0;for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);NTT(x,n,1);NTT(y,n,1);for(ll i=0;i<n;i++)x[i]=x[i]*y[i]%P;NTT(x,n,-1);for(ll i=0;i<n;i++)F.a[i]=x[i];F.n=F.n+G.n-1;return; } ll Find(){for(ll i=0;i<T;i++)if(!v[i]){v[i]=1;return i;} } ll Solve(ll l,ll r){if(l==r){ll p=Find();F[p].a[0]=1;F[p].a[a[l]]=1;for(ll i=1;i<a[l];i++)F[p].a[i]=2;F[p].n=a[l]+1;return p;}ll mid=(l+r)>>1;ll ls=Solve(l,mid),rs=Solve(mid+1,r);Mul(F[ls],F[rs]);v[rs]=0;return ls; } signed main() {freopen("graph.in","r",stdin);freopen("graph.out","w",stdout);n=read();m=read();ll sum=n,ans=0;for(ll i=1;i<=m;i++){a[i]=read();sum-=a[i];for(ll j=1,x;j<=a[i];j++)x=read();}while(sum)a[++m]=1,sum--;ll p=Solve(1,m);for(ll i=0;i<n;i++)(ans+=F[p].a[i]*power((P+1)/2,i*(n-i))%P)%=P;printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[gdoi2018 day1]小学生图论题【分治NTT】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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