正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3291

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題目大意

給出 $n$ 個數字對 $(atk,dnf)$，求一個$(a,b)$。

對于每個數字對可以選擇任意一個實數$k$讓其變為$(atk+k\times a,dnf?k\times a)$，但是操作完之后兩個數字都非負。記$atk/dnf(a,b)$表示在$(a,b)$下$atk/dnf$的最大值。

然后要求最小化$max\{at{k}_i(a,b),dn{f}_i(a,b)\}$。

$1\le n\le 10^6,1\le atk,dnf\le 10^8$

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解題思路

首先視$(atk,dnf)$為一個點的話，那么對于任意一個$(a,b)$答案肯定是在上凸殼上的。

然后考慮實際上我們并不需要用到$(a,b)$只需考慮$\frac{b}{a}$的值，定義$k=\frac{b}{a}$

然后就是要求最小化（用$a_i$代$at{k}_i$，$d_i$代$dn{f}_i$）
$$a_i+b_i+a_{i}k+b_i\frac{1}{k}$$
考慮這個點在$k$的哪些區間由它取到最大值，對于一個$j$需要滿足
$$a_i+b_i+a_{i}k+b_i\frac{1}{k}>a_j+b_j+a_{j}k+b_j\frac{1}{k}$$
化一下
$$(a_i?a_j)k^2+(a_i?a_j+b_i?b_j)k+(b_i?b_j)>0$$
然后就是一個二次不等式，并且考慮到$j$只需考慮凸殼上$i$左右連接的兩個點，解出來我們可以得到$k$的合法范圍。

然后上面那個是一個對鉤函數，現在只需在這個范圍內求這個對鉤函數的最小值就好了。

時間復雜度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; const int N=1e6+10; struct node{double x,y; }p[N],s[N]; int n,top;double ans; bool calc(double a,double b,double c,double &l,double &r){double d=b*b-4.0*a*c;if(d<0)return 0;d=sqrt(d);double x0=(-b-d)/(2*a),x1=(-b+d)/(2*a);if(x0>x1)swap(x0,x1);l=x0;r=x1;return 1; } bool cmp(node x,node y) {return (x.x==y.x)?(x.y>y.y):(x.x<y.x);} double solpe(node x,node y) {return (y.y-x.y)/(y.x-x.x);} int main() {scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);sort(p+1,p+1+n,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){while(top>1&&solpe(s[top-1],s[top])<=solpe(s[top-1],p[i]))top--;s[++top]=p[i];}ans=1e18;for(int i=1;i<=top;i++){double z=sqrt(s[i].y/s[i].x);double l=0,r=1e18,L=1,R=1;bool flag=1;if(i>1)calc(s[i].x-s[i-1].x,s[i].x-s[i-1].x+s[i].y-s[i-1].y,s[i].y-s[i-1].y,L,R);if(i<top)flag&=calc(s[i].x-s[i+1].x,s[i].x-s[i+1].x+s[i].y-s[i+1].y,s[i].y-s[i+1].y,l,r);if(!flag)continue;if(L<l)l=max(R,l);if(R>r)r=min(r,L);if(l>r||r<=0)continue;z=max(z,l);z=min(z,r);if(z>L&&z<R){if(L>=l)ans=min(ans,s[i].x+s[i].y+s[i].x*L+s[i].y/L);if(R<=r)ans=min(ans,s[i].x+s[i].y+s[i].x*R+s[i].y/R);}else ans=min(ans,s[i].x+s[i].y+s[i].x*z+s[i].y/z);}printf("%.4lf\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P3291-[SCOI2016]妖怪【凸壳】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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