正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4100

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題目大意

給出$n$個線性無關的向量$A_i$，然后給出$n$個向量$B_i$，求一個字典序最小的排列$p$使得將任意的$A_i$替換為$B_{p_i}$后依舊線性無關。

$1\le n\le 300$

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解題思路

首先因為我們有$n$個向量$A$線性無關，那么顯然這$n$個向量能表示任意向量，如果對于一個$B_{p_i}$替換為$A_i$后依舊線性無關，那么$B_{p_i}$與$A_i$是等價的（因為$B_{p_i}$和$A_i$都代表了剩下$n?1$個無法表示的部分）。

所以只需考慮每個$B_j$能否換到$A_i$即可，構建出矩陣$A=[A_1,A_2...A_n]$和$B=[B_1,B_2...B_n]$，考慮一個置換矩陣使得$AR=B$，那么就是對于每個$B$如何用$A$進行表示。

那么如果$R_{i,j}=0$也就是說$B$可以用$A_j$以外的其他$A$表示所以$B$替換到$A_j$之后肯定線性有關了，所以不行。

$R=\frac{B}{A}$，求逆得到$R$，這樣我們就知道哪些$A$可以替換哪些$B$了，問題就變成了最小字典序匹配。對于這個問題我們可以考慮找一條增廣環就好了。

時間復雜度$O(n^3)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; const int N=310; const double eps=1e-8; int n,v[N],link[N]; double A[N][N],B[N][N]; bool GetInv(){for(int i=1;i<=n;i++){int z=i;for(int j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(A[j][i])>fabs(A[z][i]))z=j;swap(A[i],A[z]);swap(B[i],B[z]);double x=A[i][i];if(fabs(x)<eps)return 0;for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]/=x,B[i][j]/=x; for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j)continue;double rate=-A[j][i];for(int k=1;k<=n;k++)A[j][k]+=rate*A[i][k],B[j][k]+=rate*B[i][k];}}for(int i=n;i>=1;i--)for(int j=1;j<i;j++){double rate=-A[j][i];for(int k=1;k<=n;k++)A[j][k]+=rate*A[i][k],B[j][k]+=rate*B[i][k]; }return 1; } bool dfs(int x){for(int i=1;i<=n;i++)if(!v[i]&&fabs(B[x][i])>=eps){v[i]=1;if(!link[i]||dfs(link[i])){link[i]=x;return 1;}}return 0; } int calc(int x,int top){for(int i=1;i<=n;i++)if(!v[i]&&fabs(B[x][i])>=eps){v[i]=1;if(link[i]==top||(link[i]>top&&calc(link[i],top))){link[i]=x;return i;}}return 0; } int main() {scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%lf",&A[j][i]);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%lf",&B[j][i]);if(!GetInv())return puts("NIE")&0;for(int i=1;i<=n;i++){memset(v,0,sizeof(v));if(!dfs(i))return puts("NIE")&0;}puts("TAK");for(int i=1;i<=n;i++){memset(v,0,sizeof(v));printf("%d\n",calc(i,i));}return 0; }

總結

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