正題

題目鏈接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1667

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題目大意

兩個(gè)人。
第一個(gè)人有$k_1$個(gè)集合，第$i$個(gè)包括了范圍$[L{1}_i,R{1}_i]$的整數(shù)。
第二個(gè)人有$k_2$個(gè)集合，第$i$個(gè)包括了范圍$[L{2}_i,R{2}_i]$的整數(shù)。

現(xiàn)在兩個(gè)人分別從各個(gè)集合中取出一個(gè)數(shù)字然后求和。

求第一個(gè)人大于/等于/小于第二個(gè)人的概率。

$1\le T\le 5,\le k_1,k_2\le 8,1\le L,R\le 10^7$

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解題思路

很神奇的題，設(shè)$x_i\in [0,R{1}_i?L{1}_i],y_i\in [0,R{2}_i?L{2}_i]$那么要求（求小于的話(huà)）
$$\sum _{i=1}^{k_1}L{1}_i+\sum _{i=1}^{k_1}{x}_i<\sum _{i=1}^{k_2}R{2}_i?\sum _{i=1}^{k_2}{y}_i$$
$$?\sum _{i=1}^{k_1}{x}_i+\sum _{i=1}^{k_2}{y}_i<\sum _{i=1}^{k_2}R{2}_i?\sum _{i=1}^{k_1}L{1}_i$$
右邊是已知的，那考慮到$k$很小那這個(gè)問(wèn)題就是一個(gè)很簡(jiǎn)單的組合數(shù)問(wèn)題了。

枚舉一些突破范圍限制的數(shù)然后容斥即可。

時(shí)間復(fù)雜度：$O(2^{k}k)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll P=1e9+7; ll T,n,m,sum,S,ans1,ans2,ans3,w[30],inv[30]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } ll C(ll n,ll m){ll ans=1;for(ll i=n;i>n-m;i--)ans=ans*i%P;return ans*inv[m]%P; } void dfs(ll x,ll s,ll f,ll &sum){if(s<0)return;if(x>n+m){(sum+=C(s+n+m,n+m)*f)%=P;return;}dfs(x+1,s,f,sum);dfs(x+1,s-w[x]-1,-f,sum);return; } signed main() {inv[1]=1;for(ll i=2;i<30;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;inv[0]=1;for(ll i=1;i<30;i++)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld",&n);sum=-1;S=1;for(ll i=1,l;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&l,&w[i]),w[i]=w[i]-l,sum-=l,S=S*(w[i]+1)%P;scanf("%lld",&m);for(ll i=n+1,l;i<=n+m;i++)scanf("%lld%lld",&w[i],&l),w[i]=l-w[i],sum+=l,S=S*(w[i]+1)%P;ll ans1=0;dfs(1,sum,1,ans1);ll ans2=0;dfs(1,sum+1,1,ans2);ll ans3=(S-ans2)%P,invn=power(S,P-2);ans2=(ans2-ans1)%P;ans3=ans3*invn%P;ans1=ans1*invn%P;ans2=ans2*invn%P;printf("%lld %lld %lld\n",(ans3+P)%P,(ans2+P)%P,(ans1+P)%P);}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的51nod1667-概率好题【容斥,组合数学】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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