正題

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題目大意

$n$個點的一張競賽圖，每個點有一個權值$a_i$，$(i,j)$之間的邊$i$連$j$的概率是$\frac{a_i}{a_i+a_j}$，否則$j$連$i$。

現在期望有多少個點能走到全圖的任意一個點。

$1\le n\le 14,1\le a_i\le 10^6$

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解題思路

考慮狀壓$dp$，首先枚舉起點$p$，設$f_S$表示目前只考慮了點集$S$且$p$都能到達。

那么對于點集$S$是任意一張圖的概率是$1$，然后考慮枚舉一個$p$能到達的集合$T$之后其他點$p$都不能到達，為了方便表示下面記$g_{S,T}$表示點集$S$和$T$之間的邊都是$S$指向$T$的概率那么有
$$1=\sum _{T?S}{f}_T\times g_{S?T,T}$$
$$?f_S=1?\sum _{T?S}{f}_T\times g_{S?T,T}$$

考慮如何預處理$g_{S,T}$，不難發現因為$S\cap T=?$所以這個狀態數是$3^n$的我們可以用三進制狀壓，不過得先預處理$r_{p,S}$表示$p$與集合$S$之間的邊都是$p$連向$S$的概率。

時間復雜度：$O(3^{n}n+2^n{n}^2)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=14,M=2e6+10,P=1e9+7; ll n,ans,inv[M],pw[N+1],a[N],r[N][1<<N],tr[1<<N],f[1<<N],g[4782969]; signed main() {inv[1]=1;for(ll i=2;i<M;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;scanf("%lld",&n);for(ll i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&a[i]);ll MS=(1<<n);for(ll p=0;p<n;p++){r[p][0]=1;for(ll s=0;s<MS;s++){if((s>>p)&1)continue;for(ll i=0;i<n;i++)if((s>>i)&1){r[p][s]=r[p][s^(1<<i)]*a[p]%P*inv[a[p]+a[i]]%P;break;}}}pw[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)pw[i]=pw[i-1]*3;for(ll s=1;s<MS;s++)for(ll i=0;i<n;i++)if((s>>i)&1)tr[s]=tr[s^(1<<i)]+pw[i];for(ll s=0;s<pw[n];s++)g[s]=1;for(ll s=0;s<MS;s++)for(ll i=0;i<n;i++){if(!((s>>i)&1))continue;for(ll t=s;t;t=(t-1)&s){if((t>>i)&1)continue;(g[tr[s]+tr[t]]*=r[i][t])%=P;}}for(ll p=0;p<n;p++){memset(f,0,sizeof(f));for(ll s=0;s<MS;s++){if(!((s>>p)&1))continue;f[s]=1;for(ll t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s){if(!((t>>p)&1))continue;(f[s]+=P-f[t]*g[tr[s]+tr[t]]%P)%=P;}}(ans+=f[MS-1])%=P;}printf("%lld\n",ans);return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

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