正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3639

---

題目大意

給出$n$個點$m$條有邊權的無向圖，然后再給出$k$條邊權未定義的邊，然后每個點有一個人數$p_i$。

現在要你給未確定的邊權的邊確定邊權然后選出圖的一棵最小生成樹，之后所有點上的人都從自己的點走到根節點，當一個人經過剛剛確定邊權的邊時會支付這條邊的權值的費用，現在要求總費用和最大。

保證$m$條邊的圖聯通且權值互不相同。

$1\le n\le 10^5,1\le m\le 3\times 10^5,1\le k\le 20$

---

解題思路

突破口肯定在于權值互不相同，因為這樣的話最小生成樹就唯一了，然后發現我們加上$k$條邊后最多替換掉原來圖上的$k$條邊，所以大部分的邊都是和原來的相同的。

我們可以先把這$k$條邊連接上，然后跑一棵最小生成樹，再吧這$k$條邊去掉這樣就最多會產生$k+1$個連通塊。

然后再用聯通塊跑一次最小生成樹，把這些邊記下來，這些邊是可能使用上的。

之后我們$2^k$枚舉哪些邊選不選入最小生成樹上，然后拿上面的邊跑最小生成樹，之后每條邊的權值就是所有連接分割的兩個聯通塊的最小邊權，這個我們可以枚舉邊然后直接暴力跳，之后統計答案就好了。

時間復雜度：$O(m\log m+2^k{k}^2)$

---

code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> #define ll long long using namespace std; const ll N=3e5+10,K=22; struct edge{ll x,y,w; }e[N]; ll n,m,k,cnt,answer,p[N],fa[N],fb[N],rev[N]; ll r[K],w[K],dep[K],f[K],dx[K],dy[K],mn[K]; vector<int>G[K];ll a[K][K]; bool cmp(edge x,edge y) {return x.w<y.w;} ll find(ll x) {return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));} ll finb(ll x) {return (fb[x]==x)?x:(fb[x]=finb(fb[x]));} void dfs(ll x,ll fa){r[x]=w[x];f[x]=fa;dep[x]=dep[fa]+1;for(ll i=0;i<G[x].size();i++){ll y=G[x][i];if(y==fa)continue;dfs(y,x);r[x]+=r[y];}return; } signed main() {scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x,y,w;scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&w);e[i]=(edge){x,y,w};}sort(e+1,e+1+m,cmp);for(ll i=1;i<=n;i++)fa[i]=fb[i]=i;for(ll i=0;i<k;i++){scanf("%lld%lld",&dx[i],&dy[i]);ll x=find(dx[i]),y=find(dy[i]);if(x==y)continue;fa[x]=y;}for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&p[i]);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=e[i].x,y=e[i].y;x=find(x);y=find(y);if(x==y)continue;fa[x]=y;fb[finb(e[i].x)]=finb(e[i].y);}for(ll i=1;i<=n;i++)if(finb(i)==i)rev[i]=++cnt,fa[cnt]=cnt;for(ll i=1;i<=n;i++)rev[i]=rev[finb(i)];for(ll i=1;i<=n;i++)w[rev[i]]+=p[i];memset(a,0x3f,sizeof(a));int pm=m;m=0;for(ll i=1;i<=pm;i++){ll x=e[i].x,y=e[i].y,w=e[i].w;x=rev[x];y=rev[y];if(find(x)==find(y))continue;fa[find(x)]=find(y);e[++m]=(edge){x,y,w};}sort(e+1,e+1+m,cmp);ll MS=(1<<k);for(ll i=0;i<k;i++)dx[i]=rev[dx[i]],dy[i]=rev[dy[i]];for(ll s=0;s<MS;s++){memset(mn,0x3f,sizeof(mn));for(ll i=1;i<=cnt;i++)fa[i]=i,G[i].clear();bool flag=0;for(ll i=0;i<k;i++){if(!((s>>i)&1))continue;ll x=find(dx[i]),y=find(dy[i]);if(x==y){flag=1;break;}fa[x]=y;G[dx[i]].push_back(dy[i]);G[dy[i]].push_back(dx[i]);}if(flag)continue;for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);if(x==y)continue;fa[x]=y;G[e[i].x].push_back(e[i].y);G[e[i].y].push_back(e[i].x);}dfs(rev[1],0);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=e[i].x,y=e[i].y;while(x!=y){if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);mn[x]=min(mn[x],e[i].w);x=f[x];}}ll ans=0;for(ll i=0;i<k;i++){if(!((s>>i)&1))continue;ll x=dx[i],y=dy[i];if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);ans+=mn[x]*r[x];}answer=max(answer,ans);}printf("%lld\n",answer);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P3639-[APIO2013]道路费用【最小生成树】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。