正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6846

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題目大意

給出$n$個點$m$條邊的一張有向圖，保證兩個點之間最多只有一條邊。現在你可以取反一些邊使得圖變為一張$DAG$，求所有方案的取反的邊數和。

$1\le n\le 18$

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解題思路

考慮到對于一種方案取反所有邊就是另一種方案，所以每種方案的取反邊數的平均值肯定是$\frac{m}{2}$，所以我們只需要統計方案數就好了。

然后再考慮$dp$，樸素的做法是$O(3^n)$的，記$G_S$表示集合$S$是否是獨立集那么有
$$F_S=\sum _{T?S}(?1{)}^{|T|+1}{F}_{S?T}{G}_T$$
然后化成集合冪級數的形式就是
$$F=FG+1?F=\frac{1}{1?G}$$

至于集合冪級數怎么求逆，定義占位多項式
$$G_{S,i}^{\prime }=\sum _{S=0}^n[count(S)=i]G_S$$
然后對于每個$G_S$視為一個多項式求逆。

然后求逆可以用$O(n^2)$的反正$n$很小。

對于$a$求逆，首先有$a^{?1}[x_0]=\frac{1}{a[x_0]}$，然后有
$$\sum _{i=0}^{n}a[x^i]a^{?1}[x^{n?i}]=0?a^{?1}[x^n]=\frac{{\sum }_{i=0}^{n?1}{a}^{?1}[x^i]a[x^{n?i}]}{a[x^0]}$$

這樣就可以$O(n^2)$遞推了。

時間復雜度：$O(2^n{n}^2)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=18,P=998244353; ll n,m,MS,c[1<<N],g[1<<N],F[N+1][1<<N],G[N+1],H[1<<N]; void FWT(ll *f,ll op){for(ll p=2;p<=MS;p<<=1)for(ll k=0,len=p>>1;k<MS;k+=p)for(ll i=k;i<k+len;i++)(f[i+len]+=f[i]*op+P)%=P;return; } signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1,x,y;i<=m;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);x--;y--;g[(1<<x)|(1<<y)]=1;}MS=(1<<n);for(ll i=0;i<n;i++)for(ll s=0;s<MS;s++)if(!((s>>i)&1))g[s^(1<<i)]|=g[s];for(ll i=1;i<MS;i++){c[i]=c[i-(i&-i)]+1;if(!g[i])F[c[i]][i]=(c[i]&1)?1:(P-1);}F[0][0]=1;for(ll i=0;i<=n;i++)FWT(F[i],1);for(ll s=0;s<MS;s++){for(ll i=0;i<=n;i++)F[i][s]=P-F[i][s];G[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++){G[i]=0;for(ll j=1;j<=i;j++)(G[i]+=P-G[i-j]*F[j][s]%P)%=P;}H[s]=G[n]; // printf("%lld ",G[n]);}FWT(H,-1);printf("%lld\n",(P+1)/2*H[MS-1]%P*m%P);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P6846-[CEOI2019]Amusement Park【状压dp,FWT】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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