正題

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題目大意

給出$k$個集合，現在從每個集合中取出一個數再把這些數放進每個集合里各一個，求能否使得所有集合的和相等，求方案。

保證所有集合中的出現過的數字都互不相同。

$1\le k\le 15,1\le n_i\le 5000,?10^9\le a_{i,j}\le 10^9$

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解題思路

顯然的突破口肯定是數字互不相同。

首先和不變所以每個集合的最后的和應該都是知道的記為$sum$，記第$i$個集合的和為$s_i$。

考慮每個交換都是類似一個環形的結構，設$b$傳給$a$，記傳出的數字為$x_b$和$x_a$，那么有
$$s_a?x_a+x_b=sum\to x_b=sum?s_a+x_a$$
因為互不相同，每個數字看成一個點，那么數字$x_a$連接的就是$sum?s_a+x_a$。

然后暴力找出所有沒有經過重復集合數字的環，記錄$r_S$表示集合$S$的環的起點。

然后設$f_S$表示能否拼出集合$S$，然后$O(3^k)$轉移即可。

時間復雜度：$O(k\sum n+3^k)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<map> #define ll long long #define mp(x,y) make_pair(x,y) using namespace std; const ll K=16; ll k,sum,s[K],f[1<<(K-1)],r[1<<(K-1)]; map<ll,ll> v;pair<ll,ll> ans[K]; void solve(ll S){if(!S)return;ll x=r[f[S]]-1e9-1;ll y=x,q=v[x];do{y+=sum-s[q];ans[v[y]]=mp(y,q);q=v[y];}while(y!=x);solve(S^f[S]);return; } signed main() {scanf("%lld",&k);for(ll i=1;i<=k;i++){ll m;scanf("%lld",&m);for(ll j=1,x;j<=m;j++)scanf("%lld",&x),s[i]+=x,v[x]=i;sum+=s[i];}if(sum%k!=0)return puts("No")&0;sum/=k;map<ll,ll>::iterator it=v.begin();while(it!=v.end()){ll x=(*it).first,p=(*it).second;ll S=0,q=p,y=x,flag=1;do{if(!q||(S>>q-1)&1){flag=0;break;}S|=(1<<q-1);y+=sum-s[q];q=v[y];}while(y!=x);if(flag)r[S]=x+1e9+1;++it;}ll MS=(1<<k);f[0]=-1;for(ll s=0;s<MS;s++){for(ll t=s;t;t=(t-1)&s)if(f[s^t]!=0&&r[t]){f[s]=t;break;}}if(!f[MS-1])return puts("No")&0;puts("Yes");solve(MS-1);for(ll i=1;i<=k;i++)printf("%lld %lld\n",ans[i].first,ans[i].second);return 0; }

總結

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