正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2070

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題目大意

有三堆卡牌各有$n,m,k$張，每張上寫了$a/b/c$，對于第$1/2/3$堆卡牌。然后開始從第一堆拿牌，然后根據(jù)拿到的牌在對應(yīng)的堆拿牌。

如果到一堆拿牌時沒有牌就結(jié)束，求第一張牌結(jié)束的方案數(shù)。

$1\le n,m,k\le 3\times 10^5$

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解題思路

顯然牌的序列我們不是很好處理因?yàn)椴皇琼樞蚰玫?#xff0c;我們可以操作每次取的堆的編號序列。

顯然它的長度不是固定的，我們枚舉其長度$n+i$（也就是除了$n$個$1$以外有$i$個其他的）。

然后答案就是
$$\sum _{i=0}^{m+k}{3}^{m+k?i}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i?1}{i}\right)\sum _{i?k\le j\le m}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)$$
后面那個很難處理但是注意到區(qū)間的范圍是每次向前移動，而且上面那個值是每次加一，暴力拆開
$$\sum _{i?k\le j\le m}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)=\sum _{i?k\le j\le m}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i?1}{j?1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i?1}{j}\right)$$
$$?2\sum _{i?1?k\le j\le m}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i?1}{j}\right)?\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i?1}{i?1?k}\right)?\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i?1}{m}\right)$$

然后就可以$O(n)$遞推了。

時間復(fù)雜度：$O(n+m+k)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e6+10,P=1e9+7; ll n,m,k,ans,fac[N],inv[N],s[N],pw[N]; ll C(ll n,ll m) {return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;} signed main() {fac[0]=inv[0]=inv[1]=pw[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*3ll%P;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);s[0]=1;ans=pw[m+k];for(ll i=1;i<=m+k;i++){s[i]=2*s[i-1]%P;if(i>m)(s[i]+=P-C(i-1,m))%=P;if(i>k)(s[i]+=P-C(i-1,i-k-1))%=P;(ans+=C(n+i-1,i)*s[i]%P*pw[m+k-i])%=P;}printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結(jié)

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