正題

題目鏈接:https://uoj.ac/problem/84

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題目大意

有$n$個(gè)點(diǎn)的一棵樹(shù)，$1$為根，兩個(gè)人從根節(jié)點(diǎn)往下走（只能從深度小的點(diǎn)走到深度大的點(diǎn)）。

兩個(gè)人每一秒都可以一條邊（也可以不移動(dòng)），或者不消耗時(shí)間將一個(gè)人傳送到另一個(gè)人那里。

求遍歷整棵樹(shù)需要的最少時(shí)間。

$1\le n\le 5\times 10^6$

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解題思路

什么神仙題。

首先考慮到肯定存在一種方案使得一個(gè)人不需要使用傳送，因?yàn)轱@然兩個(gè)人都需要使用傳送的方案可以通過(guò)交換兩個(gè)人的某些路徑得到有一個(gè)人不需要傳送的方案。

那么說(shuō)明其中一個(gè)人的路徑肯定是一條鏈，我們將這個(gè)人稱(chēng)之為本體，另一個(gè)人稱(chēng)為分身。

然后一個(gè)粗暴的想法是$dp$出一條路徑，然后本體每走到一個(gè)點(diǎn)就等分身遍歷完除了鏈上的其他子樹(shù)再往下一個(gè)節(jié)點(diǎn)走。設(shè)$f_i$表示走到節(jié)點(diǎn)$i$的答案。

但是這樣顯然是會(huì)出問(wèn)題的，對(duì)于節(jié)點(diǎn)$x$不一定是從它的父親處轉(zhuǎn)移的，因?yàn)閮蓚€(gè)人可以同時(shí)移動(dòng)，當(dāng)分身最后一次傳送后本體可以和分身一起移動(dòng)然后本體在下一個(gè)路口等分身傳送。

讓本體等分身是一種可能更賺的方案如圖（邊長(zhǎng)代指了中間省略的點(diǎn)數(shù)量級(jí)別）

顯然當(dāng)本體等待分身遍歷完$1～5$之后讓本體和分身分別走向$4$和$3$是更優(yōu)的做法。

可以相當(dāng)于在鏈上選擇一些關(guān)鍵點(diǎn)，本體只有在關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)才等待，并且分身最后遍歷最深的葉子時(shí)本體同時(shí)出發(fā)。而關(guān)鍵點(diǎn)不連續(xù)的條件只有本體等分身的時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，也就是分身最后遍歷的葉子深度比下一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的深度要大。

而且顯然地如果出現(xiàn)了這種情況那么選擇另一個(gè)深度更小的祖先作為上一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)不可能更優(yōu)（因?yàn)闀?huì)走同一段）

所以我們只需要對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)$x$找到第一個(gè)祖先$y$滿足$y$的子樹(shù)除去$x$的子樹(shù)后存在一個(gè)深度比$x$大的節(jié)點(diǎn)記為$s{f}_x$。

那么每個(gè)節(jié)點(diǎn)只需從$s{f}_x$轉(zhuǎn)移即可，如果找不到$sf$的節(jié)點(diǎn)顯然對(duì)于這樣的節(jié)點(diǎn)它的父節(jié)點(diǎn)只會(huì)有一個(gè)子節(jié)點(diǎn)，那么令$f_x=f_{f{a}_x}+1$即可。

問(wèn)題是如何快速的求出每個(gè)$s{f}_x$，注意到對(duì)于一個(gè)處理好的子樹(shù)$x$只有可能有一段連續(xù)的鏈沒(méi)有$s{f}_x$（如圖紅色箭頭所指部分）

所以我們只需要從小往上處理維護(hù)每個(gè)處理好的子樹(shù)的$sf$為$0$的鏈。

然后兩棵子樹(shù)的時(shí)候我們直接暴力合并這些部分即可，因?yàn)楹喜⑼曛罂隙ㄖ粫?huì)留下長(zhǎng)的那條鏈多出來(lái)的部分。

時(shí)間復(fù)雜度：$O(n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=5e6+10; ll n,ans,deg[N],dep[N],fa[N],sf[N]; ll siz[N],sum[N],mx[N],nxt[N],f[N]; char s[N<<1]; void addl(ll x,ll y){deg[x]++;fa[y]=x;dep[y]=dep[x]+1;return; } signed main() {scanf("%lld",&n);if(n==1)return puts("0")&0;scanf("%s",s+1);for(ll i=1,now=0,cnt=0;i<=2*n;i++){if(s[i]=='(')++cnt,addl(now,cnt),now=cnt;else now=fa[now];}for(ll i=n;i>1;i--){if(!deg[i])siz[i]=1,sum[i]=mx[i]=dep[i];ll x,y;for(x=i;x&&dep[x]<=mx[fa[i]];x=nxt[x])sf[x]=fa[i];for(y=nxt[fa[i]];y&&dep[y]<=mx[i];y=nxt[y])sf[y]=fa[i];nxt[fa[i]]=x+y;sum[fa[i]]+=sum[i];siz[fa[i]]+=siz[i];mx[fa[i]]=max(mx[fa[i]],mx[i]);}f[1]=0;ans=n*n+100;for(ll i=2;i<=n;i++){f[i]=n*n+100;ll x=sf[i];if(x)f[i]=f[x]+sum[x]-sum[i]-dep[x]*(siz[x]-siz[i]);if(deg[fa[i]]==1)f[i]=min(f[i],f[fa[i]]+1);if(!deg[i])ans=min(ans,f[i]);}printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UOJ#84-[UR #7]水题走四方【dp】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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