正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4437

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題目大意

有$n$個點的一張有向完全圖，每個點有兩個點權$a,b$。連接$x,y$兩個點的邊權為$min\{a_x,b_y\}$，求一條權值和最小的哈密頓回路。

$1\le n\le 10^5,1\le a,b\le 10^9$

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解題思路

又是$min$又是權值最小，我們可以把問題轉換為從$x$走到$y$的權值可以選擇$a_x$或者$b_y$，然后求最小的權值和。

一個暴力的想法是對于每個$a_x$對應一個$b_y$來匹配，但是這樣很顯然容易導致選出的是若干個小環。

我們可以考慮具體一個點的貢獻，我們根據$a$和$b$是否產生了貢獻記為一個二進制位，那么每個點的貢獻有$00,01,10,11$，考慮什么時候一個方案合法。

把每個$a/b$視為一個二分圖，并且$a_i$向$b_i$連邊，然后我們之后連的邊中要求兩個端點恰好有一個$1$，確立如下圖所示規則：

$11+00=10/01/ring$

$01+01=01/ring$，同理有$10+10=10/ring$

$00+01/10=00$

$11+01/10=11$

不難發現一個合法的構造只有兩種情況

全部都是$01$或者$10$

$00$和$11$各有$k(k\ge 1)$個，其余$01/10$任意

第一種情況直接計算

第二種情況我們對于每一個默認為$01/10$中權值最小的一個，然后一個$01/10\to 11(ans+max\{a_i,b_i\})$，一個$01/10\to 00(ans?min\{a_i,b_i\})$，我們可以用兩個堆分別維護$max\{a_i,b_i\}$和$min\{a_i,b_i\}$

需要注意的是由于第二種情況至少需要一個$00/11$所以就算第一次會讓答案變大也得變，而且有可能出現第一次選擇的$max\{a_i,b_i\}$和$min\{a_i,b_i\}$是同一個$i$，需要特判。

時間復雜度：$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> #define mp(x,y) make_pair(x,y) #define ll long long using namespace std; const ll N=1e5+10; ll n,a[N],b[N],ans1,ans2,ans; priority_queue<pair<ll,ll> > q1,q2; signed main() {scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);ans1+=a[i];ans2+=b[i];q1.push(mp(min(a[i],b[i]),i));q2.push(mp(-max(a[i],b[i]),i));ans+=min(a[i],b[i]);}pair<ll,ll> x=q1.top(),y=q2.top();if(x.second==y.second){q1.pop();q2.pop();pair<ll,ll> l=q1.top(),r=q2.top();ans+=min(-r.first-x.first,-y.first-l.first);}else{q1.pop();q2.pop();ans+=-y.first-x.first;while(1){ll x=q1.top().first,y=-q2.top().first;q1.pop();q2.pop();if(x<=y)break;ans+=y-x;}}printf("%lld\n",min(ans,min(ans1,ans2)));return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的AT4437-[AGC028C]Min Cost Cycle【结论,堆】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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