正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7519

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題目大意

$n$個隊伍，隊伍之間按照得分從小到大排名，得分相同的按照編號從小到大排。開始時每個隊伍有個初始得分$a_i$，和一個額外分$b_i$，主持人會按照$b_i$不降的順序讓每個隊伍的得分加上$b_i$，并且要求每次加上后這個隊伍都變成第一名。

已知每個隊伍的初始分$a$和額外分的和$m$，求有多少種公布額外分的序列。

$1\le n\le 13,1\le m\le 500,0\le a_i\le 10^4$

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解題思路

顯然地一點是我們考慮一個序列合法時$b_i$的和的最小值，然后和$m$進行比較

開始思路時卡了，假設已經排好了一部分，我們需要把一個新的排在后面，此時會有兩個限制：

這個隊伍的得分$a_i+b_i$必須是已經公布的里面最大的（或相同的序號最小的）

$b_i$必須是已經公布的里面最大的。

顯然記錄上這兩個限制進行的$dp$并不方便，考慮如何去掉一個限制，因為$b_i$是我們可以任意調整的，并且要求遞增，可以每次操作都讓后面所有數字的$b_i$都同時加值，這樣就不需要考慮第二個限制了。

然后是第一個限制如何處理，注意到我們在剛剛的情況下，假設限制最后公布的一個是$i$，而下一個公布的是$j$，那么此時有$b_j=b_i$，所以此時兩個數加上$b$之后的差值不變，所以直接拿$a_i?a_j$就可以知道后面的$b_j$要加上多少了。

那么做法已經顯然了，設$f_{s,i,j}$表示現在已經插入的數狀態為$s$，$b_i$的和為$i$，目前最后一個公布的是$j$，然后$O(n)$轉移即可。

時間復雜度：$O(2^{n}m{n}^2)$，實際上很多狀態是不會到達的，所以能過。

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=13; ll n,m,ans,a[N],c[1<<N],f[1<<N][501][N]; signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);ll pos=0;for(ll i=0;i<n;i++){scanf("%lld",&a[i]);if(a[i]>a[pos])pos=i;}f[0][0][pos]=1;ll MS=(1<<n);for(ll s=1;s<MS;s++)c[s]=c[s-(s&-s)]+1;for(ll s=0;s<MS;s++)for(ll k=0;k<=m;k++)for(ll i=0;i<n;i++){if(!f[s][k][i])continue;for(ll j=0;j<n;j++){if((s>>j)&1)continue;ll w=max(a[i]-a[j]+(j>i),0ll)*(n-c[s]);if(k+w>m)continue;f[s^(1<<j)][k+w][j]+=f[s][k][i];}}for(ll i=0;i<=m;i++)for(ll j=0;j<n;j++)ans+=f[MS-1][i][j];printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結

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