正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5327

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題目大意

給出$n$個點的一棵樹，和$m$條路徑，求有多少個點對至少存在一條路徑經(jīng)過它們。

$1\le n,m\le 10^5$

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解題思路

有一個很顯然的性質(zhì)，如果點$z$在$x\to y$的路徑上，并且$(x,z)$不合法，那么$(x,y)$肯定不合法。

所以這樣的對于一個節(jié)點$x$來說所有和它合法的點會形成一棵生成樹，這棵生成樹是哪來的也很好說，我們把所有經(jīng)過$x$的路徑$s\to t$的$s$和$t$存下來，構(gòu)出一棵虛樹，這棵虛樹的大小就是對于這個點來說合法的點個數(shù)。

虛樹的大小怎么求，這個方法很多，而我們盡量使用一種比較方便動態(tài)維護的方法，把所有點按照$dfs$序排序，假設(shè)節(jié)點$x$之后排的是$y$（定義第一個之前排的是最后一個），那么就是所有$de{p}_y?de{p}_{lca(x,y)}$的和。

不難發(fā)現(xiàn)這個東西可以在序列上維護，同理的可以在線段樹上維護，每個區(qū)間記錄$dfs$最小的和最大的點就好了。

那么做法已經(jīng)很顯然了，一條路徑經(jīng)過的點我們可以用樹上差分來做到也就是$s?lca(s,t)$和$t?lca(s,t)$的部分。

然后兩個子樹的信息合并的時候用線段樹合并就好了。

寫了個$RMQ$來快速求$LCA$。

時間復(fù)雜度：$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; const int N=1e5+10,M=N*20*4; struct node{int to,next; }a[N<<1]; int n,m,tot,cnt,dfc,ls[N],dep[N],rt[N]; int dfn[N],rfn[N],rgn[N],lg[N<<1],f[N<<1][19]; vector<int> v[N],g[N]; long long ans; void addl(int x,int y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return; } void dfs(int x,int fa){dep[x]=dep[fa]+1;dfn[++dfc]=x;rfn[x]=dfc;rgn[x]=++cnt;f[cnt][0]=x;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);f[++cnt][0]=x;}return; } int LCA(int x,int y){int l=rgn[x],r=rgn[y];if(l>r)swap(l,r);int z=lg[r-l+1];x=f[l][z];y=f[r-(1<<z)+1][z];return (dep[x]<dep[y])?x:y; } int calc(int x,int y){if(!x||!y)return 0;return dep[y]-dep[LCA(x,y)]; } struct SegTree{int cnt,w[M],s[M],lp[M],rp[M],ls[M],rs[M];void Merge(int x,int ls,int rs){s[x]=s[ls]+s[rs]+calc(rp[ls],lp[rs]);lp[x]=lp[ls]?lp[ls]:lp[rs];rp[x]=rp[rs]?rp[rs]:rp[ls];return;}void Change(int &x,int L,int R,int pos,int val){if(!x)x=++cnt;if(L==R){w[x]+=val;if(w[x])lp[x]=rp[x]=dfn[pos];else lp[x]=rp[x]=0;return;}int mid=(L+R)>>1;if(pos<=mid)Change(ls[x],L,mid,pos,val);else Change(rs[x],mid+1,R,pos,val);Merge(x,ls[x],rs[x]);return;}int Merge(int x,int y,int L,int R){if(!x||!y)return x+y;if(L==R){w[x]=w[x]+w[y];if(w[x])lp[x]=rp[x]=dfn[L];else lp[x]=rp[x]=0;return x;}int mid=(L+R)>>1;ls[x]=Merge(ls[x],ls[y],L,mid);rs[x]=Merge(rs[x],rs[y],mid+1,R);Merge(x,ls[x],rs[x]);return x;} }T; void solve(int x,int fa){for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa)continue;solve(y,x);rt[x]=T.Merge(rt[x],rt[y],1,n);}for(int i=0;i<v[x].size();i++)T.Change(rt[x],1,n,v[x][i],1);ans+=T.s[rt[x]]+dep[T.lp[rt[x]]]-dep[LCA(T.lp[rt[x]],T.rp[rt[x]])]+1;for(int i=0;i<g[x].size();i++)T.Change(rt[x],1,n,g[x][i],-2);return; } int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1,x,y;i<n;i++){scanf("%d%d",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}dfs(1,0);for(int j=1;(1<<j)<=cnt;j++)for(int i=1;i+(1<<j)-1<=cnt;i++){int x=f[i][j-1],y=f[i+(1<<j-1)][j-1];f[i][j]=(dep[x]<dep[y])?x:y;}for(int i=2;i<=cnt;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;for(int i=1,x,y;i<=m;i++){scanf("%d%d",&x,&y);v[x].push_back(rfn[x]);v[x].push_back(rfn[y]);v[y].push_back(rfn[x]);v[y].push_back(rfn[y]);int lca=LCA(x,y);g[lca].push_back(rfn[x]);g[lca].push_back(rfn[y]);}solve(1,0);printf("%lld\n",(ans-n)/2ll);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的P5327-[ZJOI2019]语言【线段树合并,LCA】的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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