正題

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題目大意

一個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)值定義為它度數(shù)的平方，求所有$n$個(gè)點(diǎn)的有標(biāo)號森林的所有節(jié)點(diǎn)權(quán)值和。

$1\le n,T\le 5\times 10^3$

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解題思路

首先因?yàn)樗泄?jié)點(diǎn)本質(zhì)相同，所以我們可以只考慮一個(gè)節(jié)點(diǎn)所有情況下的權(quán)值和。

然后考慮這個(gè)平方和怎么做，我們可以視為指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)連出兩顆子樹的方案（可以相同）。

那么考慮這個(gè)怎么做，首先我們需要處理出$n$個(gè)節(jié)點(diǎn)有根樹和無根樹的數(shù)組$r,f$。

然后我們要考慮怎么統(tǒng)計(jì)除了指定子樹以外的方案，首先我們需要處理出$n$個(gè)點(diǎn)的森林個(gè)數(shù)$s_n$。

我們可以考慮每次枚舉新加入的樹的大小，但是要指定這個(gè)節(jié)點(diǎn)編號最小的節(jié)點(diǎn)編號必須是$1$（以防相同的子樹算重），那么有
$$s_n=\sum _{i=1}^n{s}_{n?i}{f}_i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n?1}{i?1}\right)$$
然后還要算上非指定的子樹中和$1$號點(diǎn)聯(lián)通的其他節(jié)點(diǎn)的方案，那么有
$$g_n=\sum _{i=0}^n{s}_i{r}_{i+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$$
至于指定子樹的話，我們枚舉指定子樹的大小轉(zhuǎn)移就好了。

時(shí)間復(fù)雜度：$O(n^2+T)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=5100; ll T,P,C[N][N],f[N],r[N],g[N],s[N],d[N],ans[N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } signed main() {freopen("forest.in","r",stdin);freopen("forest.out","w",stdout);scanf("%lld%lld",&T,&P);C[0][0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)for(ll j=0;j<=i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P;f[0]=f[1]=r[0]=r[1]=g[0]=s[0]=1;for(ll i=2;i<N;i++) f[i]=power(i,i-2),r[i]=f[i]*i%P;for(ll i=1;i<N;i++)for(ll j=0;j<i;j++)(s[i]+=s[j]*f[i-j]%P*C[i-1][j]%P)%=P;for(ll i=1;i<N;i++){for(ll j=0;j<=i;j++)(g[i]+=s[j]*f[i-j+1]%P*C[i][j]%P)%=P;for(ll j=1;j<i;j++)(ans[i]+=r[j]*g[i-j-1]%P*C[i-1][j]%P)%=P;}for(ll i=1;i<N;i++){d[i]=ans[i+1]; // for(ll j=1;j<=i;j++) // (d[i]+=r[j]*g[i-j]%P*C[i][j]%P)%=P;for(ll j=1;j<i-1;j++)(ans[i]+=d[j]*r[i-j-1]%P*C[i-1][j]%P)%=P;}while(T--){ll n;scanf("%lld",&n);printf("%lld\n",ans[n]*n%P);}return 0; } 創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

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