正題

---

題目大意

給出$n$個點$n+k?1$條邊的一張圖，求有多少種刪除若干條邊的方案使得圖依舊聯通。

$1\le n\le 10^5,1\le k\le 10$

---

解題思路

注意到$k$很小，我們考慮先搞出一棵$dfs$樹然后剩下的做非樹邊。

這里有個結論是，我們將第$i$條非樹邊權值定為$2^i$，樹邊權值定義為覆蓋了它的非樹邊的權值的異或和，那么刪除邊集$S$后圖不連通的充要條件就是存在一個子集異或和為$0$。

感性理解一下，如果一個邊集異或和為$0$，顯然邊集內肯定有樹邊，考慮一條非樹邊（如果沒有顯然是會被分割的），它如果跨過偶數條被刪的邊那么中間如果有被刪除的樹邊就會被分割出中間的連通塊，如果它跨過奇數條被刪除的樹邊那么顯然它也要被刪除，無法連接兩個連通塊。

然后考慮一張被刪除后不連通的圖，我們將邊集中連接原本兩個連通塊的邊拿出來，如果只有樹邊顯然這個樹邊的權值為$0$，如果有非樹邊，那么中間被刪除的樹邊也會異或上這個權值，所以異或和還是為$0$。

這樣充分性和必要性就證明完了。

至于做法我們得到所有邊的權值，那么顯然權值種類不會超過$3k$種，我們直接爆搜每種權值選不選用線性基求解就好了。

---

code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> #define mp(x,y) make_pair(x,y) using namespace std; const int N=1e5+10; const int P=998244353; struct node{int to,next,w ; }a[N<<1]; int n,k,tot,m,ls[N],dep[N],c[N],w[N],ans,d[90]; bool v[N]; vector<pair<int,int> >f; void addl(int x,int y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return; } void dfs(int x,int fa){v[x]=1;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(i==(fa^1)||a[i].w)continue;if(v[y]){a[i].w=a[i^1].w=1;w[x]^=(1<<m);w[y]^=(1<<m);c[1<<m]++;m++;}else dfs(y,i);}return; } void build(int x,int fa){for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa||a[i].w)continue;build(y,x);w[x]^=w[y];}if(fa)c[w[x]]++;return; } void calc(int dep,int r){if(dep==f.size()){(ans+=r)%=P;return;}int x=f[dep].first,p=-1;calc(dep+1,r);for(int i=m-1;i>=0;i--)if((x>>i)&1){if(d[i])x^=d[i];else {p=i;break;} }if(x){d[p]=x;calc(dep+1,1ll*r*f[dep].second%P);d[p]=0;} } int main() {freopen("connected.in","r",stdin);freopen("connected.out","w",stdout);scanf("%d%d",&n,&k);tot=1;for(int i=1;i<n+k;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);} dfs(1,0);build(1,0);for(int i=1;i<(1<<m);i++)if(c[i])f.push_back(mp(i,c[i]));calc(0,1);printf("%d\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的YbtOJ-连通的图【结论,线性基】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。