前言

奶酪可能會長腿，但絕對不會變質
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正題

題目鏈接:https://atcoder.jp/contests/agc056/tasks/agc056_e

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題目大意

有一個長度為$n$的環，第$i+0.5(0\le i<n)$位置上各有一只老鼠。

然后進行以下操作$n?1$次：
第$i$個位置有$a_i\%$的概率被選擇（選擇一個），然后在這個位置上放一個奶酪，這個奶酪會順時針跑，跑到一個老鼠的位置時有$50\%$的概率被吃掉，老鼠如果吃過奶酪就會離開。

求每只老鼠被留到最后的概率。

$1\le n\le 50,{\sum }_{i=0}^{n?1}{a}_i=100$

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解題思路

考慮第$n$只老鼠留到最后的概率，因為無論是哪只奶酪吃什么老鼠都是一樣的，所以我們可以考慮開始時就將所有的奶酪放下來，然后讓它們一起繞著環走。

同樣的，奶酪的移動順序也是無關緊要的，所以我們可以考慮讓所有的奶酪先繞道第$n$只老鼠的面前然后一起統計。

那么先考慮$dp$，設$f_{i,j,k}$表示現在已經放下的奶酪都已經走到了位置$i$處，然后已經放下了$j$個奶酪，已經有$k$個被老鼠吃了。

那么每次的轉移分成兩部分，第一部分是放奶酪，枚舉這個位置放置了$x$個奶酪，需要注意的是除了概率以外因為這個方案是涉及可重排列的，所以還需要乘上一個$\frac{1}{x!}$。

第二部分是吃奶酪，因為每只奶酪只會吃一個老鼠，所以統計沒有這些奶酪都沒有被吃的概率，很方便轉移。

那么假設目前有$k$個奶酪走到了第$n$只老鼠前，那么說明前面還剩下$k?1$只老鼠沒有被吃，那么考慮這種情況下第$n$只老鼠被留到最后的概率。

考慮一個神必的證明方法，我們考慮繞一圈繞到第$i$只老鼠處還剩下$x$個奶酪，然后考慮$i$和$i+1$之間被留到最后的概率：

• 如果$i$和$i+1$都吃到了，我們顯然得不出兩個的概率關系。
• 如果$i$和$i+1$都沒被吃到，我們也得不出來，考慮下一輪。
• 如果$i$吃了并且$i+1$沒吃，概率是$(1?\frac{1}{2^x})\frac{1}{2^{x?1}}$
• 如果$i$沒吃并且$i+1$吃了，概率是$\frac{1}{2^x}(1?\frac{1}{2^x})$

那么記$p_i$表示$i$留到最后的概率，就有$p_i:p_{i+1}=\frac{1}{2^x}(1?\frac{1}{2^x}):(1?\frac{1}{2^x})\frac{1}{2^{x?1}}=1:2$
然后又因為${\sum }_{i=1}^{k?1}{p}_i=1$，所以有$p_i=\frac{2^{i?1}}{2^k?1}$，那么我們要求的就是$p_1=\frac{1}{2^k?1}$

然后這樣是求第$n$只老鼠的，改一下其他的$a_i$就好了。

時間復雜度：$O(n^5)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=55,P=998244353; ll n,fac[N],inv[N],pw[N],pr[N]; ll a[N],f[N][N][N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } signed main() {scanf("%lld",&n);fac[0]=inv[0]=inv[1]=pw[0]=pr[0]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;for(ll i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*inv[2]%P,pr[i]=pr[i-1]*2ll%P;for(ll i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&a[i]),a[i]=a[i]*power(100,P-2)%P;ll sum=0;for(ll s=0;s<n;s++){//f[i][j][k]表示到s+i,j個奶酪,被吃了k個memset(f,0,sizeof(f));f[0][0][0]=1;for(ll x=1;x<=n;x++){for(ll i=0;i<n;i++)for(ll j=0;j<=i;j++)for(ll k=0,r=1;k<=i-j;k++,r=r*a[(s+x)%n]%P)(f[x][i][j]+=f[x-1][i-k][j]*r%P*inv[k]%P)%=P;if(x==n)continue;for(ll i=0;i<n;i++)for(ll j=i-1;j>=0;j--){(f[x][i][j+1]+=f[x][i][j]*(1-pw[i-j])%P)%=P;(f[x][i][j]=f[x][i][j]*pw[i-j]%P)%=P;}}ll ans=0;for(ll i=1;i<=n;i++)(ans+=f[n][n-1][n-i]*fac[n-1]%P*power(pr[i]-1,P-2)%P)%=P;printf("%lld ",(ans+P)%P);sum=(sum+ans)%P;}return 0; }

總結

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