歐幾里德

基本思想：gcd(q,r)=gcd(r,q%r);
證明，設(shè)q、r的最大公因數(shù)為a，則q=xa，r=ya，xy互質(zhì)
不妨設(shè)x>y（顯然如果小于會(huì)在一次gcd運(yùn)算后交換）
則q%r=（x%y）*a
顯然,其與r的最大公因數(shù)仍是a
時(shí)間復(fù)雜度：接近于log級(jí)

代碼

ll gcd(ll q,ll r){if(r==0){return q;}return gcd(r,q%r); }

擴(kuò)展歐幾里德

對(duì)于q，r 及其最大公因數(shù)g，不定方程：
aq+br=g
必定存在無(wú)限多對(duì)整數(shù)a、b的解（證明會(huì)在下面給出）
拓展歐幾里德就是用于求出這個(gè)a與b的一對(duì)特殊值
對(duì)于遞歸轉(zhuǎn)移，有如下方程：

gcd(q,r):a*q+b*r=g; gcd(r,q%r):A*r+B*(q%r)=g;

任務(wù)是得到ab與AB之間的轉(zhuǎn)移
又因?yàn)?#xff1a;

q%r=q-r*(q/r);

方程聯(lián)立，可解得：

(B-a)*q+(A-b-(x/y)*B)*r=0;

各系數(shù)為0；
即：

a=B; b=A-(q/r)*B;

問(wèn)題得到解決

代碼

ll gcd(ll q,ll r){//a和b全局或傳參皆可if(r==0){b=0;a=1;return q;}ll c=gcd(r,q%r);trans=a;//中轉(zhuǎn)一下a=b;b=trans-(q/r)*b;return c; }

回到前面的問(wèn)題：

對(duì)于q，r 及其最大公因數(shù)g，不定方程：
aq+br=g
必定存在無(wú)限多對(duì)整數(shù)a、b的解

可以通過(guò)上面這個(gè)代碼發(fā)現(xiàn)：
不斷輾轉(zhuǎn)取模，q、r單調(diào)遞減
一定會(huì)達(dá)到邊界值（r==0)
那么就可以往回遞歸a與b
其值是存在且確定的

應(yīng)用：求解不定方程

對(duì)于關(guān)于整數(shù)a、b的不定方程：
am+bn=w

若mn的最大公因數(shù)為g
則m和n可以分別寫(xiě)為k1g和k2g（k1k2均為整數(shù)）
那么原方程可以改寫(xiě)為：
ak1g+bk2g=w

顯然，當(dāng)w不能整除g時(shí)，方程無(wú)解（反證易得）

當(dāng)w整除g時(shí)：
w可以寫(xiě)為cg，c為整數(shù)
由拓展歐幾米德可知：
ak1g+bk2g=g 恒有解
兩邊同乘c：
cak1g+cbk2g=cg
即：
cak1g+cbk2g=w
顯然這里的ca與cb就是一對(duì)整數(shù)解

綜上，我們得出結(jié)論：

對(duì)于關(guān)于整數(shù)a、b的不定方程：
am+bn=w
當(dāng)且僅當(dāng)w整除g時(shí)，方程有解
其中一對(duì)特殊解為ca，cb（字母定義同上）

從特殊解得到普遍解

那么如何從特殊解得到普遍解呢？
設(shè)當(dāng)前已知的解為x0，y0,另一對(duì)解為x,y
那么：

x0m+y0n=w; xm+yn=w

兩式相減:
(x0-x)m+(y0-y)n=0;
設(shè)k1=x0-x，k2=y0-y;
那么k1,k2就是兩個(gè)解上下浮動(dòng)的間隔
再移項(xiàng)得到
k1m=-k2n
左邊是m的倍數(shù)
右邊是n的倍數(shù)
那么不難看出，等號(hào)兩邊是m和n的公倍數(shù)
那么取m與n的最小公倍數(shù)時(shí)，k1k2取到絕對(duì)值最小的值
最小公倍數(shù)可以寫(xiě)成mn/gcd（m，n）
即：
k1（min）*m=mn/gcd（m,n）
即：k1(min)=n/gcd(m,n)
同理k2(min)=m/gcd(m,n）

綜上
若一組特殊解為x0，y0
則所有解的集合是：

x0+tn/gcd(m,n)
y0+tm/gcd(m,n）

t為同一個(gè)整數(shù)；
注意x0對(duì)應(yīng)的是m，換句話說(shuō)就是交叉對(duì)應(yīng)

代碼

（這題是洛谷P1516 青蛙的約會(huì)的題解)

#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #include <map> #include <vector> #include <queue> #include <stack> #include <deque> #include <set> #include <string> #include <iostream> #include <climits> #define ll long long using namespace std; const int M = 500050; const int N = 500050; const ll mod = 1000000007; ll x,y,m,n,l; ll a,b,g,p,w,trans; ll gcd(ll q,ll r){if(r==0){b=0;a=1;return q;}ll c=gcd(r,q%r);trans=a;a=b;b=trans-(q/r)*b;return c; } int main() {scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);p=n-m;w=x-y;if(p<0){w=-w;p=-p;}g=gcd(p,l);if(w%g){printf("Impossible");return 0;} // printf("a=%lld g*l=%lld p=%lld l=%lld g=%lld b=%lld w=%lld\n",a,g*l,p,l,g,b,w);while(a<0) a+=(g*l);ll k=w/g;a*=k;if(a<0) a+=(((-a)/(l/g))+1)*(l/g);//尋找到最小正整數(shù)解a%=(l/g);printf("%lld",a);return 0; } /* */

thanks for reading!

特別鳴謝：lq、qyt、wyx三位大佬對(duì)證明過(guò)程中問(wèn)題的指出awa

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数论：扩展欧几里德（洛谷P1516 青蛙的约会）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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