概要

（這是筆者剛學完趁熱寫的博客
由于也是初學，所以可能會對初學讀者比較友好吧
畢竟你不明白的地方我可能也迷惑過）

學完感覺樹鏈剖分的設計真的很巧妙
其主要用途是壓縮樹上路徑
又是一個n到log的優化

原理

先引定義：

設定每個結點所有兒子中，子樹的結點個數最多的兒子為重兒子
重兒子連成的鏈叫做重鏈
每條重鏈深度最小的點叫做重鏈的鏈頭

能得出一個很重要的結論：

從根出發的任意一條路徑經過的重鏈數不超過logm（m為邊數）

這是樹鏈剖分提速的關鍵
這個結論畫個圖就能很容易的看出來（路徑產生斷點必然意味著有一條至少比原路徑結點更多的子樹）

應用

樹鏈剖分常常和dfs序結合
如果再dfs時先dfs重兒子，重鏈的dfs序就是連續的
我們就可以一起進行修改
這樣就可以用線段樹之類的結構進行維護了

實現

那么接下來我們嘗試代碼實現

dfs

先樹上dfs一遍求出每個結點的深度、父親、子樹大小等基本信息
順便把重兒子也求了

void dfs1(int x,int f){size[x]=1;for(int i=fi[x];~i;i=p[i].nxt){int to=p[i].to;if(to==f) continue;dep[to]=dep[x]+1;fa[to]=x;dfs1(to,x);size[x]+=size[to];if(!hson[x]||size[to]>size[hson[x]]) hson[x]=to;}return; }

再dfs一遍求dfs序和鏈頭
注意先dfs重兒子！

void dfs2(int x,int tp){top[x]=tp;dfs[++tot]=x;pos[x]=tot;a[tot]=b[x];if(!hson[x]) return;dfs2(hson[x],tp);for(int i=fi[x];~i;i=p[i].nxt){int to=p[i].to;if(to==fa[x]) continue;if(to==hson[x]) continue;else dfs2(to,to);}return; }

（dfs數組和pos數組互相映射，按需取食）

修改&查詢

dfs之后就要開始干活了
修改和查詢其實一個道理
兩個點如果鏈頭相同，就說明在同一條重鏈上
直接對兩者之間的dfs區間處理即可
否則就選深度大的那個點，讓它往上跳一條鏈，同時對這條鏈處理
直到兩點在同一條重鏈上為止
對區間的修改查詢當然離不開強大的線段樹啦

void roadchange(int x,int y,int v){while(top[x]!=top[y]){if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);longchange(1,1,tot,pos[top[x]],pos[x],v);x=fa[top[x]];}if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);longchange(1,1,tot,pos[y],pos[x],v);return; } ll roadask(int x,int y){ll ans=0;while(top[x]!=top[y]){if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);ans+=longquery(1,1,tot,pos[top[x]],pos[x]); // printf("+=%d %d\n",pos[top[x]],pos[x]);ans%=mod;x=fa[top[x]];}if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);ans+=longquery(1,1,tot,pos[y],pos[x]); // printf("+=%d %d\n",pos[y],pos[x]);return ans%mod; }

線段樹

不知道怎么寫就點這里吧

細節

這是筆者第一次寫的時候遇到的一些小的問題
與你共勉吧

1.線段樹訪問時應該是dfs序小的寫在前，也就是深度小的在前！
2.踩一個坑已經足夠，所以沒有2了

thanks for reading！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的树链剖分-学习报告的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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