文章目錄

• 前言
• 二叉搜索樹
• • 代碼
• treap
• • 代碼
• splay
• • 開點
  • 旋轉
  • splay
  • 插入
  • 查找第k大元素
  • 查找給定元素的排名
  • 前驅&后繼
  • 刪除
  • 完整代碼
• 練習總結

前言

終于開始學這個東西了
看了好幾篇博客才找到一篇可讀的qwq
我曾經還以為線段樹碼量大…我真傻，真的
所謂平衡樹，就是把二叉搜索樹加了一個隨機權值
并通過旋轉使這個權值始終符合堆的性質
（treap=tree+heap）
我覺得平衡樹主要的功能就是維護排名相關的東西
（update：更正觀點！平衡樹最好用的地方還是區間問題，排名問題在序列上可以主席樹，動態的可以樹狀數組，為啥要寫splay這種東西…）
前驅后繼這些其實都可以直接拿set偷懶
（當然本剛學treap1h的蒟蒻的理解完全沒有參考價值）
一開始WA成了60分qwq
千萬注意一定不要落掉無處不在的pushup！

二叉搜索樹

不學BST，何以treap？ ——魯迅

二叉搜索樹是一種二叉樹的樹形數據結構，其定義如下：

空樹是二叉搜索樹。

若二叉搜索樹的左子樹不為空，則其左子樹上所有點的附加權值均小于其根節點的值。

若二叉搜索樹的右子樹不為空，則其右子樹上所有點的附加權值均大于其根節點的值。

二叉搜索樹的左右子樹均為二叉搜索樹。

二叉搜索樹上的基本操作所花費的時間與這棵樹的高度成正比。對于一個有 n個結點的二叉搜索樹中，這些操作的最優時間復雜度為 Ologn，最壞為On。隨機構造這樣一棵二叉搜索樹的期望高度為logn。

代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e5+100; #define ll long long int n,m,k; int x,y; int cnt[N],ls[N],rs[N],val[N],siz[N],tot=1; void insert(int &o,int v){//插入元素if(!o){o=++tot;val[o]=v;ls[o]=rs[o]=0;siz[o]=cnt[o]=1;}siz[o]++;if(val[o]==v) {cnt[o]++;return;}if(v<val[o]) insert(ls[o],v);else insert(rs[o],v); } int delmin(int &o){if(!ls[o]){int u=o;o=rs[o];return u;}else{int u=delmin(ls[o]);siz[o]-=cnt[u];return u;} } void del(int &o,int v){//刪除元素siz[o]--;if(val[o]==v){if(cnt[o]>1) cnt[o]--;else if(ls[o]&&rs[o]) o=delmin(rs[o]);else o=ls[o]+rs[o];return;}if(v<val[o]) del(ls[o],v);else del(rs[o],v); } int askrank(int o,int v){//查詢x的排名if(val[o]==v) return siz[ls[o]]+1;else if(val[o]>v) return askrank(ls[o],v);else return siz[ls[o]]+cnt[o]+askrank(rs[o],v); } int asknth(int o,int k){//查詢第k大的元素if(siz[ls[o]]>=k) return asknth(ls[o],k);else if(siz[ls[o]]+cnt[o]>=k) return val[o];else return asknth(rs[o],k-(siz[ls[o]]+cnt[o])); } int main(){scanf("%d",&n);int flag;val[1]=-2e9;int r=1;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&flag,&x);if(flag==1) insert(r,x);else if(flag==2) del(r,x);else if(flag==3) printf("%d\n",askrank(1,x));else if(flag==4) printf("%d\n",asknth(1,x));}return 0; } /**/

treap

旋轉是平衡樹的靈魂

一個很重要的技巧是利用0/1存儲左右兒子
這樣在旋轉的時候寫起來會容易很多

代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e6+2e5+100; #define ll long long int n,m,k; int x,y; int cnt[N],ch[N][2],val[N],siz[N],tot,r,dat[N]; int New(int v){val[++tot]=v;dat[tot]=rand();ch[tot][0]=ch[tot][1]=0;siz[tot]=cnt[tot]=1;return tot; } void pushup(int o){siz[o]=siz[ch[o][0]]+siz[ch[o][1]]+cnt[o]; } void build(){r=New(-2e9);ch[1][1]=New(2e9);pushup(r); } void rotate(int &o,int d){int temp=ch[o][!d];ch[o][!d]=ch[temp][d];ch[temp][d]=o;o=temp;pushup(o);pushup(ch[o][d]); } void insert(int &o,int v){if(!o){o=New(v);return;}if(v==val[o]){cnt[o]++;pushup(o);return;}int d= v>val[o];insert(ch[o][d],v);if(dat[ch[o][d]]>dat[o]) rotate(o,!d);pushup(o); } void del(int &o,int v){if(!o) return;if(v==val[o]){if(cnt[o]>1){cnt[o]--;pushup(o);return;}if(ch[o][0]||ch[o][1]){int d=!ch[o][1]||dat[ch[o][1]]<dat[ch[o][0]];rotate(o,d);del(ch[o][d],v);pushup(o);}else o=0;return;}if(v<val[o]) del(ch[o][0],v);else del(ch[o][1],v);pushup(o); } int getrank(int o,int v){if(!o) return 1;if(val[o]==v) return siz[ch[o][0]]+1;else if(v<val[o]) return getrank(ch[o][0],v);else return getrank(ch[o][1],v)+siz[ch[o][0]]+cnt[o]; } int getnth(int o,int k){if(!o) return 2e9;if(siz[ch[o][0]]>=k) return getnth(ch[o][0],k);else if(siz[ch[o][0]]+cnt[o]>=k) return val[o];else return getnth(ch[o][1],k-(siz[ch[o][0]]+cnt[o])); } int getpre(int v){int res=-2e9,p=r;while(p){if(val[p]<v){res=val[p];p=ch[p][1];}else p=ch[p][0];}return res; } int getnxt(int v){int res=2e9,p=r;while(p){if(val[p]>v){res=val[p];p=ch[p][0];}else p=ch[p][1];}return res; } int main(){scanf("%d%d",&n,&m);build();int flag;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&x);insert(r,x);}int ans=0,lst=0;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&flag,&x);x^=lst;if(flag==1) insert(r,x);else if(flag==2) del(r,x);else if(flag==3){int res=getrank(r,x)-1;lst=res;ans^=res;}else if(flag==4){int res=getnth(r,x+1);lst=res;ans^=res;}else if(flag==5){int res=getpre(x);lst=res;ans^=res;}else{int res=getnxt(x);lst=res;ans^=res;}}printf("%d\n",ans);return 0; } /**/

splay

看好幾篇博客說splay在區間問題的功能更強大，所以也學習了splay
最后實在de不出來bug還是動用了減法原理
累死窩了qwq
這個東西真的好難debug
但是決定以后就用它了awa
當然要用強的啦
這個東西好好講講

開點

所有的點都是開出來的

開點還是比較正常

int New(int v,int fa){val[++tot]=v;f[tot]=fa;ch[tot][0]=ch[tot][1]=0;siz[tot]=cnt[tot]=1;return tot; }

旋轉

它也是旋轉完成的，不能沒有它
和treap一樣啦
防止寫錯，總體的改變可以分三對

x與gfa的父子關系

fa與x的父子關系

x的異向兒子與fa的父子關系

void rotate(int x){int fa=f[x],gfa=f[fa];int k=getwhich(x);int temp=ch[x][k^1];f[temp]=fa;ch[fa][k]=temp;f[x]=gfa;if(gfa) ch[gfa][ch[gfa][1]==fa]=x;f[fa]=x;ch[x][k^1]=fa;pushup(x);pushup(fa); }

splay

splay怎么能不splay呢
所以我們現在講講splay的splay部分（停止扯淡）
splay總的來說就是把一個結點不停轉轉轉
一直轉到根的地方
沿途長鏈死光光
從而保證復雜度的正確性
這也是splay的精髓所在
而且跳到根也便利了我們其他的操作

有一個很關鍵的細節
就是當父親和自己相對于各自父節點的方向同向時
必須要先轉父親
不然就無法達到消鏈的目的
這個可以自己畫畫圖理解
（我看別人題解畫的天花亂墜，最后還是自己畫圖才明白的）
代碼極為簡潔

void splay(int x){for(int fa;fa=f[x];rotate(x)){if(f[fa]) rotate((getwhich(fa)==getwhich(x))?fa:x);}r=x; }

插入

開始干正事了
找到應該加點的位置開點
然后splay一下
注意pushup！

void insert(int v){if(!r){r=New(v,0);return;}int now=r,fa=0;while(1){if(val[now]==v){cnt[now]++;pushup(now);pushup(fa);splay(now);break;}fa=now;now=ch[now][v>val[now]];if(!now){ch[fa][v>val[fa]]=New(v,fa);pushup(fa); // printf("\ninsert:(pre)\n"); // print();splay(tot); // printf("\ninsert:(after)\n"); // print();break;}} }

查找第k大元素

這個很好寫
理解起來應該也不難

int findnth(int k){int now=r;while(1){if(siz[ch[now][0]]>=k) now=ch[now][0];else if(siz[ch[now][0]]+cnt[now]>=k) return val[now];else{k-=siz[ch[now][0]]+cnt[now];now=ch[now][1];}} }

查找給定元素的排名

這個也沒有太大的難度
（盡管我de了一年多之后發現就是這里寫掛的）
為了后面刪除元素的遍歷我們找到這個元素后splay一下

int findrank(int x){int now=r,ans=0;while(1){if(!now) return ans+1;if(val[now]>x) now=ch[now][0];else if(val[now]==x){ans+=siz[ch[now][0]];//記錄一下車禍現場splay(now);return ans+1;}else{ans+=siz[ch[now][0]]+cnt[now];now=ch[now][1];}} }

前驅&后繼

這里是找的根的前驅（后繼）
找給定值的前驅（后繼）的話就先insert進去，它自動splay到根，然后再求就行了

int findpre(){int now=ch[r][0];while(ch[now][1]) now=ch[now][1];return now; } int findnxt(){int now=ch[r][1];while(ch[now][0]) now=ch[now][0];return now; }

刪除

這個是重點
首先把刪除的元素利用前面現成的findrank提到根上
有副本就直接刪
否則看它的兒子情況
啥都沒有就直接變空樹了
只有一個就把那個兒子當成根
如果兩個兒子都有就考慮把根的前驅提上來
因為是前驅，所以它在到x之前一定沒有右兒子
也就是這樣：

再轉一下：

注意到待刪元素一定沒有左兒子
因此我們可以把B直接接到pre上達到刪除的目的
也就是：

這樣就ok啦

void del(int v){findrank(v);if(cnt[r]>1) {cnt[r]--;return;}else if(!ch[r][0]&&!ch[r][1]){r=0;return;}else if(!ch[r][0]){int temp=r;r=ch[r][1];f[r]=0;return;}else if(!ch[r][1]){int temp=r;r=ch[r][0];f[r]=0;return;}int temp=ch[r][1],pre=findpre(),oldr=r;splay(pre);ch[r][1]=temp;f[temp]=r;pushup(r); }

完整代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e5+100; #define ll long long int n,m,k; int x,y; int cnt[N],ch[N][2],val[N],siz[N],tot,r; int f[N]; int New(int v,int fa){val[++tot]=v;f[tot]=fa;ch[tot][0]=ch[tot][1]=0;siz[tot]=cnt[tot]=1;return tot; } void pushup(int o){if(o) siz[o]=siz[ch[o][0]]+siz[ch[o][1]]+cnt[o]; } void build(){r=New(-2e9,0);ch[1][1]=New(2e9,r);pushup(r); } int getwhich(int x){return ch[f[x]][1]==x; } void rotate(int x){int fa=f[x],gfa=f[fa];int k=getwhich(x);int temp=ch[x][k^1];f[temp]=fa;ch[fa][k]=temp;f[x]=gfa;if(gfa) ch[gfa][ch[gfa][1]==fa]=x;f[fa]=x;ch[x][k^1]=fa;pushup(x);pushup(fa); } void splay(int x){for(int fa;fa=f[x];rotate(x)){if(f[fa]) rotate((getwhich(fa)==getwhich(x))?fa:x);}r=x; } void insert(int v){if(!r){r=New(v,0);return;}int now=r,fa=0;while(1){if(val[now]==v){cnt[now]++;pushup(now);pushup(fa);splay(now);break;}fa=now;now=ch[now][v>val[now]];if(!now){ch[fa][v>val[fa]]=New(v,fa);pushup(fa); // printf("\ninsert:(pre)\n"); // print();splay(tot); // printf("\ninsert:(after)\n"); // print();break;}} } int findnth(int k){int now=r;while(1){if(siz[ch[now][0]]>=k) now=ch[now][0];else if(siz[ch[now][0]]+cnt[now]>=k) return val[now];else{k-=siz[ch[now][0]]+cnt[now];now=ch[now][1];}} } int findrank(int x){int now=r,ans=0;while(1){if(!now) return ans+1;if(val[now]>x) now=ch[now][0];else if(val[now]==x){ans+=siz[ch[now][0]];splay(now);return ans+1;}else{ans+=siz[ch[now][0]]+cnt[now];now=ch[now][1];}} } int findpre(){int now=ch[r][0];while(ch[now][1]) now=ch[now][1];return now; } int findnxt(){int now=ch[r][1];while(ch[now][0]) now=ch[now][0];return now; } void del(int v){findrank(v);if(cnt[r]>1) {cnt[r]--;return;}else if(!ch[r][0]&&!ch[r][1]){r=0;return;}else if(!ch[r][0]){int temp=r;r=ch[r][1];f[r]=0;return;}else if(!ch[r][1]){int temp=r;r=ch[r][0];f[r]=0;return;}int temp=ch[r][1],pre=findpre(),oldr=r;splay(pre);ch[r][1]=temp;f[temp]=r;pushup(r); } int main(){scanf("%d",&n);int flag;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&flag,&x);if(flag==1) insert(x);else if(flag==2) del(x);else if(flag==3) printf("%d\n",findrank(x));else if(flag==4) printf("%d\n",findnth(x));else if(flag==5){insert(x);printf("%d\n",val[findpre()]);del(x);}else{insert(x);printf("%d\n",val[findnxt()]);del(x);} // print();}return 0; } /**/

練習總結

傳送門

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模板：二叉搜索树平衡树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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