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• 前言
• 解析
• 代碼

前言

斜率優化dp，就是利用斜率優化的dp

（逃）

解析

第一道斜優的題
分析題目
設$su{m}_i$為1-i的c的前綴和
容易寫出dp轉移式：
$$d{p}_i=min(d{p}_j+(su{m}_i?su{m}_j+i?j?1?L{)}^2)$$

但是平方轉移會T掉
考慮優化
設：
$$a_i=su{m}_i+i$$
$$b_i=su{m}_i+i+1+L$$
注意到對于固定的 i，a和b都是可求的定值
那么上面的dp，就可以寫成：
$$d{p}_i=min(d{p}_j+(a_i?b_j{)}^2)$$
把平方拆開：
$$d{p}_i=min(d{p}_j+a_i^2+b_j^2?2?a_i?b_j)$$
為了轉移優化，我們需要移一下項：
$$2?a_i?b_j+d{p}_i?a_i^2=d{p}_j+b_j^2$$

上面那個式子可以看成一個以$b_j$為未知數，斜率為$2?a_i$，且經過$(b_j,d{p}_j+b_j^2)$的一次函數
沒明白？這么看：
$$f(x)=2?a_i?x+d{p}_i?a_i^2$$
$$f(b_j)=d{p}_j+b_j^2$$
$d{p}_i$就是這個函數與y軸的截距加上$a_i$的平方，因此我們實際上就是要使函數在y軸上的截距最小
有了這個函數之后，我們就可以開始嘗試優化了

對于每一個新的要求的dp[i]，其直線對應的斜率是固定的
我們維護一個可以作為轉移點的隊列，其中的決策點對應的點對(b[x],dp[x]+b[x]^2)形成一個凸包的結構

由于隨著 i 的增大，其直線的斜率（$2?a_i$）單調遞增，所以位于凸包上方的點是一定不會作為最優決策點的
若記A、B兩點之間的斜率為slope（A、B）
不難看出，要使其這條直線的y軸截距最小，我們應該找到**第一個
$slope（P[j],P[j+1])>2?ai$ 的位置
而且由于斜率單調遞增，P_j左側的點以后一定不會再被選到了
所以我們可以用一個單調隊列來維護
時間復雜度降為O(n)

代碼

#include<bits/stdc++.h> #define I register int using namespace std; #define ll long long const int N=5e4+10; ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f; } int n; ll sum[N],c[N],a[N],b[N],l,dp[N]; struct pos{ll x,y;int pl; }; pos q[N]; int st,ed; double slope(pos u,pos v){return 1.0*(v.y-u.y)/(v.x-u.x); } int main(){ // freopen("a.in","r",stdin); // freopen("a.out","w",stdout);n=read();l=read();for(int i=1;i<=n;i++){//printf("ok i=%d\n",i);c[i]=read();sum[i]=sum[i-1]+c[i];a[i]=sum[i]+i;b[i]=sum[i]+i+l+1;}b[0]=l+1;st=ed=1;q[1]={b[0],b[0]*b[0],0};for(int i=1;i<=n;i++){ll k=2*a[i];while(st<ed&&slope(q[st],q[st+1])<k) st++;ll x=q[st].x,y=q[st].y;int pl=q[st].pl;dp[i]=y+a[i]*a[i]-2*a[i]*b[pl];//printf("i=%d st=%lld dp=%lld k=%lld\n ",i,q[st].pl,dp[i],k);//for(int i=st;i<=ed;i++) printf("%d:(%lld %lld %lld) ",i,q[i].x,q[i].y,q[i].pl);//printf("\n\n");pos now=(pos){b[i],dp[i]+b[i]*b[i],i};while(st<ed&&slope(q[ed-1],q[ed])>slope(q[ed-1],now)){ed--;// printf("ou2!\n");}q[++ed]=now;}printf("%lld",(long long)dp[n]);return 0; } /* 6 10 5 8 5 10 19 1 */

總結

以上是生活随笔為你收集整理的YBTOJ洛谷P3195：玩具装箱（斜率优化dp）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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