所謂后綴自動機，就是通過后綴建立的自動機

（逃）
請允許我先介紹一下后綴家族：

（又逃）

前言

OI生涯目前為止學習的最為難以理解的算法，沒有之一。
到現在也沒有完全的理解。
qwq

概念

定義：

后綴 $i$ ：字符串 $s$ 以 $i$ 結尾的后綴（前綴同理）
$endpos(x)$ 字符串 $x$ 在 $s$ 中出現的結尾位置的集合
等價類：若 $endpos(u)=endpos(v)$，我們就稱 $u$ 和 $v$ 屬于同一個等價類

不難發現，對于 $s$ 的一個子串 $x=s_{l...r}$，都存在一個位置 $p\in (l,r]$，滿足對于 $l\le i\le p$，$x$ 的后綴 $i$ 都與 $x$ 屬于同一個等價類，而對于 $p<i\le r$，后綴 $i$ 與 $x$ 都不屬于一個等價類。
我們稱滿足這個性質的 $p$ 為 $link(x)$。

SAM是一個字符轉移邊組成的DAG，每條從根結點出發的路徑都唯一對應 $s$ 的一個子串，在SAM中，每個結點都對應著一個等價類的集合（也就是從根結點到該結點的路徑所代表的字符串的集合，這些字符串必然由一個最長的字符串和它的一些連續的后綴組成），一個結點的 $link$ 定義為該結點對應的最長字符串的 $link$。

請務必確保你理解了上面這段話

構建

現在考慮如何構建出SAM
使用增量法，當前加入一個新的字符串 $c$
設上一個加入的結點為 $lst$，當前加入結點為 $cur$
設一個結點代表的最長字符串的長度為 $len$

首先，令 $len(cur)\leftarrow len(lst)+1$
然后從 $lst$ 沿著 $link$ 不斷往上跳，直到跳到某個有 $c$ 的轉移邊或者跳到根為止，沿途把 $c$ 的轉移邊全部賦值成 $cur$

situation 1

若到根了還沒有 $c$ 的轉移邊：說明整個字符串還沒有出現過 $c$，直接把 $link(cur)$ 賦值成根即可

否則，設跳到了結點 $p$，$p$ 的 $c$ 轉移邊為 $q$
由于一直跳的是

situation 2

若 $len(q)=len(p)+1$：這兩個結點在原串上就是相鄰的，直接令 $link(cur)=link(q)$ 即可

situation 3

若 $len(q)=len(p)+1$：這兩個結點在原串上不是相鄰的，此時若按照情況2的處理方法，會使SAM上出現不應該出現的前綴，所以我們應該分裂出一個結點 $pp$，繼承所有 $q$ 的信息，$len(pp)\leftarrow len(p)+1$，并把 $q$ 和 $cur$ 的 $link$ 全指向 $pp$，再一路往上把本來連向 $q$ 的轉移連向 $pp$

代碼

void ins(int c){c-='a';int cur=++tot,p=lst;lst=tot;st[cur].len=st[p].len+1;siz[cur]=1;for(;p&&!st[p].tr[c];p=st[p].fa) st[p].tr[c]=cur;if(!st[p].tr[c]) st[cur].fa=1;else{int q=st[p].tr[c];if(st[q].len==st[p].len+1) st[cur].fa=q;else{int pp=++tot;st[pp]=st[q];st[pp].len=st[p].len+1;st[q].fa=st[cur].fa=pp;for(;p&&st[p].tr[c]==q;p=st[p].fa) st[p].tr[c]=pp;return;}} }

應用

求 endpos 集合大小

定義 $si{z}_x$ 為結點 $x$ 的等價類集合中 $endpos$ 的數目。（也就是出現次數）
那么根據定義，有：
$$si{z}_x=\sum _{s\in so{n}_x}si{z}_s+[x\in S]$$
其中 $S$ 是每次插入的終點集合
dfs或者拓撲實現均可

int cnt[N],id[N]; void calc(){for(int i=1;i<=tot;i++) ++cnt[st[i].len];for(int i=1;i<=n;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];for(int i=tot;i>=1;i--) id[cnt[st[i].len]--]=i;for(int i=tot;i>=1;i--) siz[st[id[i]].fa]+=siz[id[i]];return; }

求本質不同子串數

就是在自動機上的走法種類唄。
那么就有：
$$su{m}_x=\sum _{s=t{r}_{x,c}}su{m}_s+1$$

Thanks for reading!

后綴樹

本身也是一個大算法，但是可以通過反串建SAM偷懶。
復雜度為 $O(nC)$。

解析

對反串建出后綴自動機，其 $fail$ 樹即為所求的后綴樹。
設 $p{l}_x$，為 $x$ 節點對應的任意一個出現位置，那么 $fai{l}_x\to x$ 這條邊上對應的字符串就是 $s(p{l}_x+le{n}_{fai{l}_x},p{l}_x+le{n}_x?1)$。
結合 $fail$ 的定義應該不難得到。

后綴樹的性質：

根到葉子的路徑和所有后綴一一對應。

所有非根節點都至少有兩個子節點。

$LCP(i,j)$ 就是兩個位置對應節點 lca 的最長長度。

在解決字典序相關問題時較為常用。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模板：后缀自动机（SAM）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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