文章目錄

• 前言
• 解析
• • OR
  • • 定義
    • 變換：
    • 逆變換
    • 代碼
  • AND
  • • 代碼
  • XOR
  • • 定義
    • 變換
    • 逆變換
    • 代碼

所謂快速沃爾什變換，就是快速的沃爾瑪什錦專柜變換

（逃）

前言

正常卷積的定義：$c_k={\sum }_{i+j=k}{a}_i{b}_j$。
可以用FFT或者NTT在 $O(n\log n)$ 的復雜度內解決。
然而，有些時候，我們計算卷積的時候下標關系并不是喜聞樂見的加法，而是形如 $c_k={\sum }_{i\oplus j=k}{a}_i{b}_j$，其中的 $\oplus$ 是 and or xor 中的一種位運算。
這個時候就需要快速莫比烏斯變換（and or）和快速沃爾什變換（xor），同樣可以把復雜度降到 $O(n\log n)$ 級別。

解析

由于三個運算思想比較類似，因此不對兩個算法進行特別的區分，統稱為FWT。
采用類比的思想，FFT先把多項式轉化為點值表示，乘到一起，最后再反演回去。
類似的，FWT也是先把多項式 $A,B$ 轉化為某種變換 $\mathrm{FWT}(A),\mathrm{FWT}(B)$，然后乘起來得到 $\mathrm{FWT}(C)$，最后再反演回去得到 $C$。
根據不同位運算的性質，對應的變換有所不同。

OR

定義

求：$c_k={\sum }_{i|j=k}{a}_i{b}_j$
考慮或運算有如下性質：若 $i|k=k,j|k=k$，那么 $(i|j)|k=k$，反之亦然。
那么我們就按照這個充要條件設計變換：${\mathrm{FWT}}_{or}(A{)}_k={\sum }_{i|k=k}{A}_i$。
自然語言：$i$ 必須是 $k$ 的子集才能轉移。
考慮兩個變換后的多項式逐項系數相乘：
$${\mathrm{FWT}}_{or}(A)?{\mathrm{FWT}}_{or}(B)=\sum _k(\sum _{i|k=k}{a}_i)\times (\sum _{j|k=k}{b}_j)$$
$$=\sum _k\sum _{i|k=k}\sum _{j|k=k}{a}_i{b}_j=\sum _k\sum _{(i|j)|k=k}{a}_i{b}_j={\mathrm{FWT}}_{or}(C)$$
所以我們就證出了系數直接相乘是對的，現在只需要一種快速的變換得到 ${\mathrm{FWT}}_{or}$ 以及將其反演的方法。

變換：

還是和FFT類似的，考慮分治，假設我們要合并兩個長度為 $2^n$ 的序列，設它們不同的最高位為1的序列為 $A_1$，為0的為 $A_0$。
考慮 or的性質，$A_0$ 可以轉移到 $A_1$，而 $A_1$ 無法轉移到 $A_0$，因此有：
$${\mathrm{FWT}}_{or}(A)=({\mathrm{FWT}}_{or}(A_0),{\mathrm{FWT}}_{or}(A_0)+{\mathrm{FWT}}_{or}(A_1))$$
其中 $+$ 表示系數逐項相加，$(f(x),g(x))$ 表示把 $f(x)$ 和 $g(x)$ 順次寫出。

逆變換

那么對應的，還原成原序列只需要逆向操作即可：
$${\mathrm{UFWT}}_{or}(A)=({\mathrm{UFWT}}_{or}(A_0),{\mathrm{UFWT}}_{or}(A_0)?{\mathrm{UFWT}}_{or}(A_1))$$

代碼

寫起來非常簡潔：

void Or(ll *x,int n,int op){for(int l=1;l<n;l<<=1){for(int st=0;st<n;st+=l*2){for(int i=0;i<l;i++){ll u=x[st+i],v=x[st+l+i];if(op==1) x[st+i]=u,x[st+l+i]=(v+u)%mod;else x[st+i]=u,x[st+l+i]=(v+mod-u)%mod;}}} }

AND

和 or 的整個定義、證明幾乎都是一樣的。
求：$c_k={\sum }_{i\&j=k}{a}_i{b}_j$
與運算有如下性質：若 $i\&k=k,j\&k=k$，那么 $(i\&j)\&k=k$，反之亦然。
按照這個充要條件設計變換：${\mathrm{FWT}}_{or}(A{)}_k={\sum }_{i|k=k}{A}_i$。
自然語言：$i$ 必須是 $k$ 的超集才能轉移。
后面的證明一模一樣，變換也可以同理的得到：
$${\mathrm{FWT}}_{and}(A)=({\mathrm{FWT}}_{and}(A_0)+{\mathrm{FWT}}_{and}(A_1),{\mathrm{FWT}}_{and}(A_1))$$
$${\mathrm{UFWT}}_{and}(A)=({\mathrm{UFWT}}_{and}(A_0)?{\mathrm{UFWT}}_{and}(A_1),{\mathrm{UFWT}}_{and}(A_1))$$

代碼

void And(ll *x,int n,int op){for(int l=1;l<n;l<<=1){for(int st=0;st<n;st+=l*2){for(int i=0;i<l;i++){ll u=x[st+i],v=x[st+l+i];if(op==1) x[st+i]=(u+v)%mod,x[st+l+i]=v;else x[st+i]=(u+mod-v)%mod,x[st+l+i]=v;}}} }

XOR

這個和之前的有所不同。

定義

求：$c_k={\sum }_{i\oplus j=k}{a}_i{b}_j$
設 $d(x)$ 為二進制下 $x$ 的1的個數的奇偶性（模2的結果）。
有性質：$d(i\&k)\oplus d(j\&k)=d((i\oplus j)\&k)$。
證明：
由于與運算，只考慮 $k$ 為1的那些位。如果某一位 $i,j$ 都是1或0，那么等號兩邊的奇偶性都不改變；如果某一位 $i,j$ 一個是1一個是0，那么等號兩邊的奇偶性都改變；所以等號兩遍的奇偶性始終同步改變，最后就一定是相等的。

設計：
$${\mathrm{FWT}}_{xor}(A{)}_k=\sum _i(?1{)}^{d(i\&k)}{a}_i$$
那么還是嘗試逐項相乘：
$${\mathrm{FWT}}_{xor}(A)?{\mathrm{FWT}}_{xor}(B)=\sum _k(\sum _i(?1{)}^{d(i\&k)}{a}_i)\times (\sum _j(?1{)}^{d(j\&k)}{b}_j)$$
$$=\sum _k\sum _{i,j}(?1{)}^{d(i\&k)+d(j\&k)}{a}_i{b}_j=\sum _k\sum _{i,j}(?1{)}^{d(i\&k)\oplus d(j\&k)}{a}_i{b}_j$$
$$=\sum _k\sum _{i,j}(?1{)}^{d((i\oplus j)\&k)}{a}_i{b}_j={\mathrm{FWT}}_{xor}(C)$$
得證。

變換

還是分治的思想，考慮到增加一位后，只有下標最高位帶1的數貢獻到了下標最高位帶1的位置時，最高位與運算結果為1，1的個數增加一個，奇偶性改變，所有的符號都變為相反。其它的轉移都不變。
也就是：
$${\mathrm{FWT}}_{xor}(A)=({\mathrm{FWT}}_{xor}(A_0)+{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_1),{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_0)?{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_1))$$

逆變換

反過來即可。
$${\mathrm{FWT}}_{xor}(A)=(\frac{{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_0)+{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_1)}{2},\frac{{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_0)?{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_1)}{2})$$

代碼

void Xor(ll *x,int n,int op){for(int l=1;l<n;l<<=1){for(int st=0;st<n;st+=l*2){for(int i=0;i<l;i++){ll u=x[st+i],v=x[st+l+i];if(op==1) x[st+i]=(u+v)%mod,x[st+l+i]=(u+mod-v)%mod;else x[st+i]=(u+v)%mod*499122177%mod,x[st+l+i]=(u+mod-v)%mod*499122177%mod;}}} }

Thanks for reading!

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模板：快速莫比乌斯变换（FMT）+快速沃尔什变换（FWT）（多项式）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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