所謂 BSGS，就是北上廣深。

（逃）

BSGS

給出 $a,b,p$，請處出滿足 $a^x\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 的最小非負正數解或者報告無解。
$a,b,p\le 10^9,\gcd (a,p)=1$

由于 $a,p$ 互質，有 $a^{\phi (p)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，所以答案如果存在，不會超過 $O(p)$ 級別。
設 $w=?\sqrt{p}?$，$x$ 可以拆分為 $xw?y(x,y\le \sqrt{p})$。
變一下型：
$$a^{xw?y}\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
$$a^{xw}\equiv b?a^y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
先枚舉右邊存到 map 或者哈希表里，然后左邊暴力查表即可。

ll bsgs(ll a,ll b,ll mod){if(b==0&&a==0) return 1;if(b==1) return 0;if(a==0||b==0) return -1;mp.clear();ll w=ceil(sqrt(mod)),ans=1e16;for(ll i=0,now=1;i<=w;i++,now=now*a%mod){int x=b*now%mod;mp.ins(x,i);}ll bas=ksm(a,w,mod);for(ll i=1,now=bas;i<=w;i++,now=now*bas%mod){int o=mp.find(now);if(o!=-1) ans=min(ans,i*w-o);}return ans>1e15?-1e9:ans; }

exBSGS

給出 $a,b,p$，請處出滿足 $a^x\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 的最小非負正數解或者報告無解。
$a,b,p\le 10^9$

沒有 $a,p$ 互質的條件，之前的算法行不通了。
因此我們要試圖轉化為互質的情況。

一個樸素的想法是同時除以 $\gcd$。
但是我們如果改變了 $a$，后面會很難搞。
有一個性質，如果有：
$$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
那么對于 $a,b,p$ 的公因數 $g$，有：
$$\frac{a}{g}\equiv \frac{b}{g}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{p}{g})$$
帶回方程：
$$a^{x?1}?\frac{a}{g}\equiv \frac{b}{g}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{p}{g})$$
$$a^{x?1}\equiv \frac{b}{g?\frac{a}{g}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{p}{g})$$
就對方程完成了轉化。
但是，這樣只是對 $p$ 除 $g$ 后，依然有可能 $p,a$ 不互質。
那么我們就找到新的 $g$，直到互質為止。
假設除了 $k$ 次，就有：
$$a^{x?k}\equiv \frac{b}{({\prod }_k{g}_k)?{\prod }_k\frac{a}{g_k}}$$
右邊的分母在實現時是分開除的，所以這里也不化簡了）
但是我們需要注意一些細節問題。

如果 $\gcd (a,p)$ 不是 $b$ 的因子怎么辦？

如果 $a,p$ 是 $g$ 的倍數，那么 $a^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$ 必然也是 $g$ 的倍數（可以把取模理解成減倍數來考慮），那么既然無解。（除非 b=1 ！）

$p$ 不是質數，如何求 ${\prod }_k\frac{a}{g_k}$ 的逆元？

如果 $a,p$ 互質，那么 ${\prod }_k\frac{a}{g_k}$ （也就是 $a$ 的一堆因子乘起來）必然也與 $p$ 互質，用 $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}$ 求解即可。

代碼

inline ll ksm(ll x,ll k,ll mod){//快速冪ll res(1);while(k){if(k&1) res=1ll*x*res%mod;x=1ll*x*x%mod;k>>=1;}return res; } struct node{int to,nxt; }; struct Hash{//哈希表int mod,key[N],val[N],tot,cnt;bool vis[N]; vector<int> exi;int fi[N];node p[N];inline void init(int x){mod=x;memset(fi,-1,sizeof(fi));cnt=-1;}void ins(int k,int w){int o=k%mod;if(!vis[o]){vis[o]=1;exi.push_back(o);}for(int i=fi[o];~i;i=p[i].nxt){int to=p[i].to;if(key[to]==k){val[to]=w;return;}}++tot;val[tot]=w;key[tot]=k;p[++cnt]=(node){tot,fi[o]};fi[o]=cnt;}int find(int k){int o=k%mod;for(int i=fi[o];~i;i=p[i].nxt){int to=p[i].to;if(key[to]==k) return val[to];} return -1;}void clear(){for(int x:exi){fi[x]=-1;vis[x]=0;}tot=0;cnt=-1;exi.clear();return;} }mp; ll bsgs(ll a,ll b,ll mod){if(b==0&&a==0) return 1;if(b==1) return 0;if(a==0||b==0) return -1;mp.clear();ll w=ceil(sqrt(mod)),ans=1e16;for(ll i=0,now=1;i<=w;i++,now=now*a%mod){int x=b*now%mod;mp.ins(x,i);}ll bas=ksm(a,w,mod);for(ll i=1,now=bas;i<=w;i++,now=now*bas%mod){int o=mp.find(now);if(o!=-1) ans=min(ans,i*w-o);}return ans>1e15?-1e9:ans; } ll gcd(ll x,ll y){return y?gcd(y,x%y):x;}//gcd ll exgcd(ll x,ll y,ll &a,ll &b){//exgcdif(!y){a=1;b=0;return x;}ll g=exgcd(y,x%y,a,b),tmp=a;a=b;b=tmp-x/y*b;return g; } ll inv(ll x,ll mod){//x的逆元ll a,b;ll g=exgcd(x,mod,a,b);assert(g==1);a=(a%mod+mod)%mod;return a; } ll a,b,w; ll ans=1e18; ll exbsgs(ll a,ll b,ll mod){//exbsgsif(b==1||mod==1) return 0;ll k(0),g=gcd(a,mod),na=1;while(g>1){++k; if(b%g) return -1;b/=g;mod/=g;na=na*a/g%mod;g=gcd(mod,a);if(b==na) return k;//此時b變成了1}return bsgs(a,b*inv(na,mod)%mod,mod)+k; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模板：BSGS（数论）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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