所謂杜教篩，就是dms教給我們的篩

（逃）

前言

與其說算法，不如說是技巧。
可以在低于線性的時間復雜度（準確的說是 $O(n^{\frac{2}{3}})$）內完成對積性函數的前綴和計算。

解析

考慮求函數 $f$ 的前綴和：
$$S(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$
尋找另一個函數 $g$，設 $h=f?g$，那么有：
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{n}h(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}g(d)f(\frac{i}{d}) \\ =\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{?\frac{n}{d}?}f(i) \\ =\sum _{d=1}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?) \end{gathered}$$。
嘗試湊出 $S(n)$:
$$\begin{gathered} g(1)S(n)=\sum _{d=1}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?)?\sum _{d=2}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?) \\ =\sum _{d=1}^{n}h(d)?\sum _{d=2}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?) \end{gathered}$$
后面的 $S$ 就可以遞歸求解了。

時間復雜度

按照上面的式子，可以寫出時間復雜度的遞推式：
$$T(n)=O(\sqrt{n})+\sum _{i=2}^{\sqrt{n}}(T(i)+T(\frac{n}{i}))$$
由于再往下遞歸就是高階小量，我們只需要展開一層：
$$T(n)=O(\sqrt{n})+\sum _{i=2}^{\sqrt{n}}(O(\sqrt{i})+O(\sqrt{\frac{n}{i}}))$$
由于 $O(\sqrt{i})+O(\sqrt{\frac{n}{i}})\ge O(2\sqrt{\sqrt{n}})=O(n^{\frac{1}{4}})$，所以總的復雜度大概是 $O(n^{\frac{3}{4}})$。

考慮先用線性篩預處理出一部分前綴和。
由于算法本身根號分治就有 $O(\sqrt{n})$，所以不妨設預處理的范圍 $m>\sqrt{n}$。
那么時間復雜度就變成了：
$$\begin{gathered} T(n)=O(m)+O(\sqrt{n})+\sum _{i=2}^{?\frac{n}{m}?}T(?\frac{n}{i}?) \\ =O(m)+O(\sqrt{n})+\sum _{i=2}^{?\frac{n}{m}?}O(\sqrt{?\frac{n}{i}?}) \\ =O(m)+O(\sqrt{n})+{\int }_0^{\frac{n}{m}}\sqrt{\frac{n}{x}} \\ =O(m)+O(\sqrt{n})+f(\frac{n}{m})(f(x)=\sqrt{nx}) \\ =O(m)+O(\sqrt{n})+O(\frac{n}{\sqrt{m}}) \\ \ge O(n^{\frac{2}{3}}) \end{gathered}$$
當 $m=n^{\frac{2}{3}}$ 時取等。

應用

如何使用杜教篩呢？

舉個例子：計算 ${\sum }_{i=1}^n\mu (i)$。
我們把剛才的核心式子拿下來：

$$g(1)S(n)=\sum _{d=1}^{n}h(d)?\sum _{d=2}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?)$$
首先，我們需要使 ${\sum }_{d=1}^{n}h(d)$ 可以很容易的求出來，不然就沒有意義了。
同時，我們最好也能讓 $g$ 函數簡單一些。
想到：$\mu ?1=e$。
令 $g=1,h=e$，就很好的滿足了我們的要求。
式子變成：
$$S(n)=1?\sum _{d=2}^{n}S(?\frac{n}{d}?)$$
非常簡潔，直接求解即可。
實現上，需要開一個 map 或者哈希表進行記憶化。

代碼

ll getmu(int n){if(n<=w) return sum1[n];if(mp1.count(n)) return mp1[n];ll ans=1;for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1){assert(n/l);r=n/(n/l);ans-=(r-l+1)*getmu(n/l);}return mp1[n]=ans; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模板：杜教筛（莫比乌斯反演、数论）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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