期望学习笔记
前言
突然發(fā)現(xiàn)自己沒有系統(tǒng)學(xué)過期望。
做一本通的時(shí)候是從二分圖開始聽的課,dp這一章只是四處搜題解而已。
做期望題基本都是靠玄學(xué)和《感性理解》
都是很簡(jiǎn)單的東西,但系統(tǒng)很重要,該補(bǔ)的還是要補(bǔ)的。
期望的基本性質(zhì)
比較容易錯(cuò)的是第四條。其實(shí)這個(gè)性質(zhì)附帶的條件是很自然的,把兩邊的期望式子都拆開:
∑i,jxiyjP(x=xi,y=yj)=(∑ixiP(x=xi))×(∑jyjP(y=yj))\sum_{i,j} x_iy_jP(x=x_i,y=y_j)=(\sum_i x_iP(x=x_i))\times (\sum_j y_jP(y=y_j))i,j∑?xi?yj?P(x=xi?,y=yj?)=(i∑?xi?P(x=xi?))×(j∑?yj?P(y=yj?))
這個(gè)東西成立的條件是 P(x=xi,y=yj)=P(x=xi)×P(y=yj)P(x=x_i,y=y_j)=P(x=x_i)\times P(y=y_j)P(x=xi?,y=yj?)=P(x=xi?)×P(y=yj?),也就是 x,yx,yx,y 相互獨(dú)立。
第三條看著特顯然但是也不是那么顯然。
E(x+y)=∑i,j(xi+yj)P(x=xi,y=yj)=∑ixi∑jP(x=xi,y=yj)+∑jyj∑iP(x=xi,y=yj)=∑ixiP(x=xi)+∑jyjP(y=yj)=E(x)+E(y)E(x+y)=\sum_{i,j} (x_i+y_j)P(x=x_i,y=y_j)\\=\sum_i x_i\sum_j P(x=x_i,y=y_j)+\sum_{j}y_j\sum_i P(x=x_i,y=y_j)\\=\sum_ix_iP(x=x_i)+\sum_jy_jP(y=y_j)\\=E(x)+E(y)E(x+y)=i,j∑?(xi?+yj?)P(x=xi?,y=yj?)=i∑?xi?j∑?P(x=xi?,y=yj?)+j∑?yj?i∑?P(x=xi?,y=yj?)=i∑?xi?P(x=xi?)+j∑?yj?P(y=yj?)=E(x)+E(y)
其中 ∑jP(x=xi,y=yj)\sum_j P(x=x_i,y=y_j)∑j?P(x=xi?,y=yj?) 自然語言就是只要 x=xix=x_ix=xi?,yyy 取什么值都行,那么也就是 P(x=xi)P(x=x_i)P(x=xi?),才有了第二行到第三行的變換。
其中第三條極其常用,當(dāng)總問題較為復(fù)雜時(shí),常常將其拆分為幾個(gè)小問題分別進(jìn)行期望的求解。
較復(fù)雜的期望模型
給出初始狀態(tài) SSS,終止?fàn)顟B(tài) TTT。
每個(gè)狀態(tài) AAA 有若干轉(zhuǎn)移狀態(tài) BiB_iBi? 和對(duì)應(yīng)的概率以及轉(zhuǎn)移代價(jià),∑P(A→Bi)=1\sum P(A\to B_i)=1∑P(A→Bi?)=1。
定義 E(x)E(x)E(x) 表示從 xxx 到結(jié)束的期望代價(jià),則有轉(zhuǎn)移:
E(A)=∑i(E(Bi)+cost(A→Bi))?P(A→Bi)E(A)=\sum_{i}(E(B_i)+cost(A\to B_i))*P(A\to B_i)E(A)=i∑?(E(Bi?)+cost(A→Bi?))?P(A→Bi?)
轉(zhuǎn)移正確性來自期望本身的定義。
當(dāng)轉(zhuǎn)移為 DAG 時(shí),直接拓?fù)浼纯伞?#xff08;綠豆蛙的歸宿)
當(dāng)轉(zhuǎn)移有環(huán)時(shí),高斯消元。(隨機(jī)游走)
利用概率求解期望
先求出每個(gè)事件的概率,最終乘上其對(duì)應(yīng)的價(jià)值,也可以求出期望。
總結(jié)
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