所謂 Prufer 序列，就是 Prufer 發明的序列。

（逃）

前言

優雅的神奇魔術。
看名字很高大難，但實際上是高大清（小清新）。
很簡單的建立起樹與序列之間的雙射，且這個序列的性質非常良好，且這個序列的性質與度數密切相關。
能優雅簡潔的證明一些惡心的結論。

注意！ Prufer序列不考慮只有一個結點的樹。

解析

定義

把一棵樹轉化為 Prufer 序列的流程如下：

找到當前度數為1且編號最小的點 $x$。

將 $x$ 點刪去，將唯一與 $x$ 相連的點 $f$ （可以理解為以n作根情況下的“父親”）加入 Prufer 序列。

將 $f$ 的度數減一。

不斷執行 1-3，直到只剩下兩個點。

最終我們得到的長度為 $n?2$ 的序列即最終的 Prufer 序列。

性質

其有如下性質：

序列中的每個數都是 $[1,n]$ 之間。

一個度數為 $d_x$ 的點在序列中出現 $d_x?1$ 次。

最終剩下的兩個點中必然有一個點為 $n$。

都較為顯然。

把樹轉化為 Prufer 序列

利用 Prufer 序列的定義，開一個堆存當前的度數為1的點，即可 $O(n\log n)$ 的構造。
但可以做到線性。
維護一個指針 $p$，從1掃到n，表示當前編號最小的一度點。每次后移指針知道找到一個一度點，將其加入 Prufer 序列，如果父親減完度數變成了一度點且編號小于 $p$ 則將父親加入序列，并遞歸的考慮祖父，否則直接忽略。
注意這么做最后會得到一個 $n?1$ 的序列，因為最后會把和 $n$ 相連的點也刪去。把序列尾抹掉即可。

for(int i=1;i<n;i++){fa[i]=read();du[i]++;du[fa[i]]++;}for(int p=1;p<n;p++){if(du[p]>1) continue;q[++tot]=fa[p];int f=fa[p];--du[f];while(du[f]==1&&f<p){q[++tot]=fa[f];f=fa[f];--du[f];}}--tot;

把 Prufer 序列轉化為樹

利用 Prufer 序列的性質2，我們可以得到每個點的度數。
每次找到最小的一度點，它的父親就是當前序列的隊首元素，將其與隊首連邊，隊首的度數減一，并后移隊首指針。
和樹轉化為 Prufer 序列類似的，我們也可以維護一個指針 $p$ 做到線性。
注意，由于 Prufer 序列的長度只有 n-2，我們必然只為 n-2 個結點分配了“父親”（即連了n-2條邊），最后我們最后找到那個沒有被分配父親的非 n 的點，將其與 n 相連即可。

for(int i=1;i<=n;i++) du[i]=1;for(int i=1;i<=n-2;i++){q[i]=read();++du[q[i]];}int pl=1;for(int p=1;p<n&&pl<=n-2;p++){if(du[p]>1) continue;int x=p;while(x<=p&&du[x]==1&&pl<=n-2){fa[x]=q[pl];du[q[pl]]--;x=q[pl];++pl;}}for(int i=1;i<n;i++) if(!fa[i]) fa[i]=n;

凱萊定理

通過上面的構造我們可以知道，有標號無根樹和Prufer序列是雙射關系。
Prufer 序列的個數顯然為 $n^{n?2}$ 個，那么我們也就自然得出了凱萊定理：

$n$ 個結點的有標號無根樹有 $n^{n?2}$ 個。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模板：Prufer序列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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