前言

期望：100+70+0=170
實際：40+0+0=40
rnk14

分全部掛沒了，太行了。
T1不開longlong見祖宗，而且KH說的那個也有道理，帶權之后樹的重心可以不只有兩個，所以最后還應該倍增的跳。（然而這個地方題解似乎都忽略了）
T2線性篩寫掛身敗名裂。
T3根本沒摸，本來還打算至少敲個暴力來著，但被T2心態搞炸了。

題目解析

樹的核心（core）

我、kH、pdf一邊一個做法的一道題。
但是必須承認pdf的做法實現是最簡單的。

我這個題的做法倒是出的很快，差不多8:30就出思路了。
我的做法是找到當前加一的部分的重心，新重心一定在舊重心和原來這個重心的路徑上。
代碼實現的很不好，寫拍調整到十點。

pdf思路：答案的子樹權值大小必然嚴格大于總權值一半，那么在dfs序的線段樹上按照點權二分，找到權值中點對應的結點，其必然在答案的子樹內，也就是說，答案必然在該結點的返祖鏈上。
往上倍增的找即可。

隨機填數（random）

寫完T1看這題。
是我之前做過的一道CF的多測板。
按照CF的做法有70。
一方面給了我方便，也某種程度上限制了我的思維罷。
但這題我也確實做不出來，需要的那個技巧根本就不在我腦子的“寄存器”里，估計很難訪問到了。

一個重要結論：
$$E(x)=\sum _{i=1}P(x\ge i)$$
較為顯然，之前也見到過，但沒有特別上心。
然而，本題后面這個概率卻能很方便的求出。
首先分母很好辦，就是 $m^{i?1}$。$x\ge i$ 也就等價于 $[1,i?1]$ 的序列的 $\gcd$ 大于1（只考慮 $i>1$）。那么我們考慮補集，也就是 $\gcd =1$ 的序列有多少個：
$$\sum _{a_{1...i?1}}[(a_1,a_2,...,a_{i?1})=1]$$
$$=\sum _{a_{1...i?1}}\sum _{d|(a_1,a_2,...,a_{i?1})}\mu (d)$$
$$=\sum _{d=1}^m\mu (d)?\frac{m}{d}{?}^{i?1}$$
那么我們其實就是求：
$$\sum _{i=2}^{\infty }P(x\ge i)+1$$
$$=\sum _{i=2}^{\infty }\frac{m^{i?1}?{\sum }_{d=1}^m\mu (d)?\frac{m}{d}{?}^{i?1}}{m^{i?1}}+1$$
$$=\sum _{i=1}^{\infty }\frac{m^i?{\sum }_{d=1}^m\mu (d)?\frac{m}{d}{?}^i}{m^i}+1$$
$$=1?\sum _{i=1}^{\infty }\frac{{\sum }_{d=2}^m\mu (d)?\frac{m}{d}{?}^i}{m^i}$$
$$=1?\sum _{d=1}^m\mu (d)\sum _{i=1}^{\infty }\frac{?\frac{m}{d}{?}^i}{m^i}$$
$$=1?\sum _{d=1}^m\mu (d)\frac{?\frac{m}{d}?}{m??\frac{m}{d}?}$$
預處理 $\mu$ 的前綴和，整除分塊即可做到單次 $O(\sqrt{n})$。

等權劃分（value）

由于本次考試上來就對T1有了思路，調完T1又一直在T2掙扎，所以這個題幾乎沒有摸。
因而談不太上考場感受，但是看題解感覺我應該是做不出來的。
三個關鍵點，我的評價分別是：很難想到，很難想到，很難想到。
畢竟做題可是且運算，卡一個地方這題就沒了。
由于字典序優秀的貪心性質，我們可以每次都盡可能的嘗試填A，然后判斷接下來的局面是否有解。
那么問題就轉化為了對于一個局面，如何快速判斷有無解。

關鍵性質：如果一個局面有解，那么必然可以構造一種合法方案，使得一個序列中的合法點都是完整原序列的前綴最大值（其必然也所在序列的合法點，以下簡稱必大點）。

證明：如果一個序列存在非必大點的合法點，那么其前方第一個必大點必然在另一個序列里。那么若兩個序列都存在非必大點的合法點，令兩個對應的必大點互換位置，即可保證合法點數都減一的同時，使非必大點個消失一個。不斷如此操作，至少有一個序列的合法點全是必大點。
（個人感覺證明倒不是特別難，但真的很難獨立猜出這種鬼馬結論并認為它有用…）

我們強制令一個序列全是必大點（注意這個序列即可以是A，也可以是B，下面假設其為B）。若后邊還有 $c$ 個必大點，A選的合法點中必大點和非必大點分別有 $p,q$ 個，A、B當前選的合法點有 $fa,fb$ 個，那么就有：
$$fa+p+q=fb+c?p$$
整理得：
$$2p+q=fb?fa+c$$
其中右邊的東西對于某個確定局面為定值，設其為 $w$。令A序列選取必大點為合法點的價值為2，非必大點的價值是1，那么就要求存在一種選點方案使得總權值為 $w$。

結論：對于一個殘局，一個子序列S可以成為A的合法點序列的充要條件是其遞增。并且可以使B序列只選取該子序列外的必大點作為合法點。

（這個pdf沒有細講，但我覺得還是需要講一下的）
證明：前綴最大值必然遞增，必要性顯然。充分性嘗試構造性證明：對于一個遞增子序列S，從前往后考慮每個元素劃分到哪里。對于一個屬于S的元素，直接給A，否則，若是必大點，直接給B，否則，其前面必然存在比它大的元素x，把當前元素劃分到x所在的序列即可。

又注意到，由于元素只有1或2，那么如果權值x是合法的，那么x-2必然也是合法的。所以我們只需要對奇權值和偶權值分別從后往前做一遍帶權LIS并互相轉移，每次在 $w$ 奇偶性對應的線段樹上查詢是否不小于 $w$ 即可。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.16模拟总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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