解析

非常妙的一個題，感受到了斐波拉契優美的歸納性質。

首先，不難發現只要兩個1*1的位置固定，中間的擺法就固定了，而兩邊的方案都是經典的斐波拉契數列（設為 $f_i$）。
那么枚舉中間的間隔再枚舉左邊的長度，就有：
$$ans=2\sum _{i=3}^n\sum _{j=0}^{n?i}{f}_j{f}_{n?i?j}$$
乘二是因為對于一種間隔，中間的磚有兩種擺法。
轉換一下求和順序：
$$ans=2\sum _{i=0}^{n?3}{f}_i\sum _{j=0}^{n?3?i}{f}_j$$
然后有一個斐波拉契的經典結論（然而我并不會）：
$$\sum _{i=0}^n{f}_i=f_{n+2}?1$$
證明直接歸納即可。
所以原式就等于：
$$2\sum _{i=0}^{n?3}{f}_i(f_{n?1?i}?1)=2(\sum _{i=0}^{n?3}{f}_i{f}_{n?1?i}?(f_{n?1}?1))=2(\sum _{i=0}^{n?1}{f}_i{f}_{n?1?i}+1?2f_{n?1}?f_{n?2})$$
設 $s_n={\sum }_{i=0}^n{f}_i{f}_{n?i}$，答案就是 $2(s(n?1)+1?2f_{n?1}?f_{n?2})$。
再看看 $s_n$ 等于什么：
$$s_n=\sum _{i=0}^n{f}_i{f}_{n?i}=f_n+f_{n?1}+\sum _{i=0}^{n?2}{f}_i{f}_{n?i}$$
$$=f_n+f_{n?1}+\sum _{i=0}^{n?2}{f}_i(f_{n?i?1}+f_{n?i?2})=f_n+s_{n?1}+s_{n?2}$$
（第二步可以拆 $f_{n?i}$ 是因為此時有 $n?i>=2$）
這樣，我們就得到了 $s$ 的遞推式，也非常優美。
把 $f,s$ 拼在一起構造出轉移矩陣，快速冪加速即可。

代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define ull unsigned long long #define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__) #define ok debug("OK\n") using namespace std;const int N=4e5+100; const int mod=1e9+7; inline ll read(){ll x(0),f(1);char c=getchar();while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)) {x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}return x*f; } int n,m;struct matrix{int x,y;ll a[5][5];matrix(int X,int Y){x=X;y=Y;memset(a,0,sizeof(a));} }; matrix operator * (const matrix &u,const matrix &v){matrix res(u.x,v.y);for(int k=1;k<=u.y;k++){for(int i=1;i<=u.x;i++){ll tmp=u.a[i][k];for(int j=1;j<=v.y;j++){(res.a[i][j]+=tmp*v.a[k][j])%=mod;}}}return res; } int trans[5][5]={{},{0,0,1,0,1},{0,1,1,0,1},{0,0,0,0,1},{0,0,0,1,1}, }; matrix I(4,4),o(4,4),ori(1,4); matrix ksm(matrix x,int k){matrix res=I;while(k){if(k&1) res=res*x;x=x*x;k>>=1;}return res; }signed main(){#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("a.in","r",stdin);freopen("a.out","w",stdout);#endifint T=read();for(int i=1;i<=4;i++) I.a[i][i]=1;for(int i=1;i<=4;i++){for(int j=1;j<=4;j++) o.a[i][j]=trans[i][j];}ori.a[1][1]=1;ori.a[1][2]=1;ori.a[1][3]=1;ori.a[1][4]=2;while(T--){n=read();if(n<=1) puts("0");else{matrix res=ori*ksm(o,n-2);//printf("%lld %lld %lld %lld\n",res.a[1][1],res.a[1][2],res.a[1][3],res.a[1][4]);printf("%lld\n",(res.a[1][4]+1-(2*res.a[1][2]+res.a[1][1])%mod+mod)*2%mod);}}return 0; } /* 1 5 0 0 5.001 5.002 */

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P5303 [GXOI/GZOI2019]逼死强迫症（斐波拉契、矩阵乘法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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