昨天晚上，初見它時(shí)，月黑風(fēng)高，一個(gè)電腦，一支筆，一個(gè)人

今天秋高氣爽，再一瞥，回眸間

我又來了，honey

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• 題解
• 代碼實(shí)現(xiàn)

題目

題解

首先這種 $i$ 天與前面 $j$ 天有關(guān)聯(lián)，而且讓你求最后一天的極值
我們一定會(huì)聯(lián)想到 $DP$

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先搞定 $dp$ 定義?

第一維毋庸置疑就是表示 $i$ 天，接著思考一下第二維 $j$
1）如果表示 $i$ 天買了或者賣了 $j$ 股票，就遇到了一個(gè)問題，$i?W?1$ 天的時(shí)候股票數(shù)又是多少呢?
難道我要再去用一重循環(huán)枚舉嗎？顯然不現(xiàn)實(shí)。

2）如果表示 $i$ 天手上還擁有著 $j$ 股票（ $i$ 天已經(jīng)操作完成了）
那么 $\pm k$ 就是 $i?W?1$ 的股票數(shù)了

綜上 $dp[i][j]:i$ 天手上的股票數(shù)為 $j$ 時(shí)的最大收益。

最后輸出 $dp[n][0]$ 就可以了，$n$ 天的時(shí)候手上沒有股票數(shù)肯定是最優(yōu)解了，不然你手上捏著股票又買賣不了，拿來擦屁股嗎？？

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找到轉(zhuǎn)移方程式?

• 這一天閑得慌，不買也不賣

  $dp[i][j]=dp[i?1][j](0\le j\le MaxP)$

• 這一天才開始玩股票，只能去購(gòu)進(jìn)股票

  $dp[i][j]=?j?a{p}_i(j?a{s}_i\le k<j)$

• 自由權(quán)比較大，手上有點(diǎn)資本，也要購(gòu)進(jìn)

  $dp[i][j]=dp[i?W?1][k]?(j?k)?a{p}_i(j?a{s}_i\le k<j)$

• 該開始賺錢錢了，賣一點(diǎn)股票出去

  $dp[i][j]=dp[i?W?1][k]+(k?j)?b{p}_i(j<k\le j+b{s}_i)$

在這四種情況下，取一個(gè) $max$ 即可。

那么為什么i-W-1就是當(dāng)前最優(yōu)解呢？

因?yàn)槲覀兪且惶煲惶爝f推過去的，當(dāng)前最優(yōu)解會(huì)被傳遞過去，

這也是我們DP需要完成的

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分析這個(gè) $DP$ 的時(shí)間復(fù)雜度，$O(n^3)$。

所以必須對(duì) $k$ 優(yōu)化

我們就去拆一拆 case3 case4 的 $DP$ 式

$$dp[i][j]=dp[i?W?1][k]?(j?k)?a{p}_i(j?a{s}_i\le k<j)$$$$?$$$$dp[i][j]=dp[i?W?1][k]+k?a{p}_i?j?a{p}_i(j?a{s}_i\le k<j)$$
我們會(huì)發(fā)現(xiàn) $j?a{p}_i$ 是固定不變的。

也就是說真正影響 $dp[i][j]$ 的是 $dp[i?W?1][k]+k?a{p}_i$

而且 $dp[i?W?1][k]+k?a{p}_i$ 越大越好。

發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程的實(shí)質(zhì)是 $k\in [j?a{s}_i,j)$ 這個(gè)范圍內(nèi)取得的且只和 $k$ 有關(guān)。

$$dp[i][j]=dp[i?W?1][k]+(k?j)?b{p}_i(j<k\le j+b{s}_i)$$$$?$$$$dp[i][j]=dp[i?W?1][k]+k?b{p}_i?j?b{p}_i(j<k\le j+b{s}_i)$$

我們會(huì)發(fā)現(xiàn) $j?b{p}_i$ 是固定不變的。

也就是說真正影響 $dp[i][j]$ 的是 $dp[i?W?1][k]+k?b{p}_i$

而且 $dp[i?W?1][k]+k?b{p}_i$ 越大越好。

發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程的實(shí)質(zhì)是 $k\in (j,j+b{s}_i]$ 這個(gè)范圍內(nèi)取得的且只和k有關(guān)

結(jié)合以上兩種情況：就會(huì)聯(lián)想到我們的單調(diào)隊(duì)列了。

維護(hù) $k$ 的范圍而且從大到小，每次取隊(duì)頭 $head$ 進(jìn)行更值

這樣就轉(zhuǎn)化成了$O(n^2)$。

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最后注意一下循環(huán)順序

買股票就從小到大 $0～MaxP$

賣股票就從大到小 $MaxP～0$

代碼實(shí)現(xiàn)

#include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; #define MAXN 2005 int T, MaxP, W; int ap, bp, as, bs; int head, tail; int deq[MAXN]; int dp[MAXN][MAXN]; int main() {scanf ( "%d %d %d", &T, &MaxP, &W );++ W;dp[0][0] = -MAXN * MAXN;for ( int i = 1;i <= MaxP;i ++ )dp[0][i] = dp[0][i - 1];for ( int i = 1;i <= T;i ++ ) {scanf ( "%d %d %d %d", &ap, &bp, &as, &bs );for ( int j = 0;j <= MaxP;j ++ )dp[i][j] = dp[i - 1][j];for ( int j = 0;j <= as;j ++ )dp[i][j] = max ( dp[i][j], -j * ap );if ( i > W ) {head = 1, tail = 0;for ( int j = 0;j <= MaxP;j ++ ) {while ( head <= tail && deq[head] < j - as )head ++;while ( head <= tail && deq[tail] * ap + dp[i - W][deq[tail]] <= j * ap + dp[i - W][j] )-- tail;deq[++ tail] = j;dp[i][j] = max ( dp[i][j], dp[i - W][deq[head]] + deq[head] * ap - j * ap );}head = 1, tail = 0;for ( int j = MaxP;j >= 0;j -- ) {while ( head <= tail && deq[head] > j + bs )head ++;while ( head <= tail && deq[tail] * bp + dp[i - W][deq[tail]] <= j * bp + dp[i - W][j] )tail --;deq[++ tail] = j;dp[i][j] = max ( dp[i][j], dp[i - W][deq[head]] + deq[head] * bp - j * bp );}}}printf ( "%d", dp[T][0] );return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的DP专练4：[SCOI 2010]股票交易（单调队列优化dp）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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