我似乎很少寫這種算法博客

• 可持久化線段樹概念
• • 概念介紹（類比幫助理解）
  • 簡單分析一下時間和空間復雜度（內(nèi)容池）
• 模板
• • 結構體變量
  • 建樹模板
  • 單點修改模板
  • 單點查詢模板
  • 區(qū)間修改模板（pushup）
  • 區(qū)間修改模板（比較特別）
  • 區(qū)間查詢模板
• 入門題：可持久化線段樹
• • 題目
  • 簡單題解
  • 代碼實現(xiàn)

我以這種字體提醒大家是類比概念的理解

可持久化線段樹概念

概念介紹（類比幫助理解）

概念：可持久化線段樹也叫函數(shù)式線段樹，它的主體是線段樹，準確的說，是很多棵線段樹。線段樹表示的區(qū)間，是輸入數(shù)據(jù)的整個權值域，如果值域空間太大，要先離散化可能出現(xiàn)的元素值，壓縮值域空間。
線段樹存儲的信息是權值，維護不同區(qū)間的權值分布情況。
對于有n個元素的序列S，構造出n棵線段樹T[1…n]，每棵樹Ti儲存序列的每一個前綴S[1…i]中每類數(shù)的出現(xiàn)個數(shù)，即權值分布情況。
陳立杰、Seter、Fotile等人稱這種以值域作為區(qū)間長度的線段樹為權值線段樹。因為每棵線段樹Ti維護的是前綴S[1…i]中每類數(shù)的出現(xiàn)個數(shù)。

一句話概括：每次修改線段樹上的值都新建一棵樹，保證原來的線段樹未被覆蓋

---

給幾張圖片幫助認識

對于可持久化線段樹的操作，保證每一次的線段樹都不要被覆蓋
可能會想到每一次都copy一棵完整的新樹，然后再新樹上進行更改
空間會變成$(nm)$，顯然是不允許的

其實我們發(fā)現(xiàn)每一次都最多只修改$log(n)$個節(jié)點（走到了葉子節(jié)點）
其余的節(jié)點沒經(jīng)過的都跟原來的線段樹狀態(tài)是一樣的，
那么我們就沒有必要去新建一些多余的節(jié)點儲存同樣的內(nèi)容
所以可持久化線段樹的修改每一次都只新建需要更改的新點，不動的就直接賦成原來的狀態(tài)
這樣就保證了每一個狀態(tài)下的線段樹都被保存下來了，且未對其發(fā)生更改

---

我們可以類比抄作業(yè)，
A同學做完了一份作業(yè)（樹的最初始狀態(tài)） B同學就開始抄A，發(fā)現(xiàn)這其中有幾處錯誤， 那么他就在這幾個題目上面趕緊寫下自己的正確答案（新建線段樹）， 然后其它一樣的地方就直接鏈接A同學的答案（先不急著把答案寫下來，只用鏈接地址不變，在后面要用到的時候就直接找到A的答案地址抄就可以了）

假設這個時候C又開始抄B的，又發(fā)現(xiàn)B有一些錯誤， 他就悄悄更改這幾處的答案（新建點）， 與B一樣的就鏈接地址（雖然鏈接的是B的地址，但是B鏈接的是A的地址，所以就相當于C直接鏈接了A的地址） 以此類推。。。

可持久化就意味著老師檢查作業(yè)（查詢之時）能找到每一位同學各自的答案，并且每位同學都很不要臉
發(fā)現(xiàn)了別人的錯誤都不告訴別人，自己偷偷摸摸的改，生成了自己新的一份答案

不然你想如果A發(fā)現(xiàn)自己有個錯誤，改了的話，所有的同學都要更改那一道題，所以要按住A不讓他更改自己的答案，保證后面的答案順利傳下去

我jio得這個類比非常貼近生活實際，淺顯易懂啊！！相信很多親故都已經(jīng)明白了吧！！

---

簡單分析一下時間和空間復雜度（內(nèi)容池）

因為是新建的點，并未對以前的先單數(shù)進行深度增加或多幾個葉子結點
查詢和更改都應該是與線段樹一樣的時間復雜度$O(logN)$
m次操作就是$O(MlogN)$是肯定可以接受的

---

唯一蜜汁迷人的就是這個空間問題，
建初始樹的空間與普通線段樹是不一樣的，
因為普通線段樹是$num<<1$，$num<<1|1$，葉子結點也會生成多的空兒子
所以空間會變成$4N$，而主席樹就不一樣了，用了內(nèi)存池再加上寫法的原因
葉子結點是不會多生成空兒子的,空間自然就是$2N$，盡管本蒟蒻還是按著$4N$在開
有m次操作，就有$MlogN$個新點，就會多這么多空間
線段樹總空間也就是$(2N+MlogN)$

不建議大家卡著點開，可以盡可能的多開一些，保證不MLE就ok

模板

學習任何算法都有一定的模板，剛開始多半都是靠背，打多了過后就自然而然就理解了
沒辦法
接下來的多數(shù)模板我們以找最大值為例，對于不同的情況適當更改部分代碼即可

結構體變量

#define MAXN 1000005 struct node {int l, r, Max; //依情況而決定里面的變量是Max,Min,Sum... }tree[MAXN << 2];

建樹模板

我都是寫的動態(tài)建樹，挺不錯的，推薦，嘻嘻
這里要注意必須把每一層的節(jié)點編號提前存下來，
不然回溯的時候cnt早已多加了很多，這樣我們就對不上了
作業(yè)亂了，名字跟真實試卷會對不上

int build ( int l, int r ) {int t = ++ cnt;if ( l == r ) {tree[t].l = tree[t].r = 0;tree[t].Max = a[l];return t;}int mid = ( l + r ) >> 1;tree[t].l = build ( l, mid );tree[t].r = build ( mid + 1, r );tree[t].Max = max ( tree[tree[t].l].Max, tree[tree[t].r].Max );return t; }

單點修改模板

把p這個點修改為v發(fā)現(xiàn)這份作業(yè)的p題錯了，偷偷摸摸不告訴別人自己改

int update ( int num, int p, int v, int l, int r ) {int t = ++ cnt;if ( l == r ) {tree[t].l = tree[t].r = 0;tree[t].Max = v;return t;}int mid = ( l + r ) >> 1;if ( p <= mid ) {tree[t].l = update ( tree[num].l, p, v, l ,mid );tree[t].r = tree[num].r;}else {tree[t].r = update ( tree[num].r, p, v, mid + 1, r );tree[t].l = tree[num].l;}tree[t].Max = max ( tree[tree[t].l].Max, tree[tree[t].r].Max );return t; }

單點查詢模板

假設我們要找p的值老師開始檢查作業(yè)，抽查到我們的p題答案，馬上找鏈接的答案

int query ( int p, int num, int l, int r ) {if ( l == r )return tree[num].Max;int mid = ( l + r ) >> 1;if ( p <= mid )return query ( p, tree[num].l, l, mid );elsereturn query ( p, tree[num].r, mid + 1, r ); }

區(qū)間修改模板（pushup）

首先面對線段樹的區(qū)間修改，大多數(shù)人都會采取lazy，主席樹也同樣適用
但不同的是各棵樹是彼此獨立的，如果我們lazy下放，對于i這個狀態(tài)是對的
但有可能到j狀態(tài)時的樹是不能加上這個lazy的，這個lazy并不是j打上去的
所以不下放，我們就回溯上放回來即可
我們之前說了每個人都小賤小賤的，只會改自己的答案，但是我們有些題貼的是別人的鏈接，無法幫助別人改答案，就只能等著別人改了答案更新了鏈接，自己這份才能跟著改，這個鏈接鏈上了甩都甩不掉

void pushup ( int root,int len ) {tree[root].sum = tree[tree[root].l].sum + tree[tree[root].r].sum + tree[tree[root].l].lazy * ( len - ( len >> 1 ) ) + tree[tree[root].r].lazy * ( len >> 1 ); }int update ( int root, int l, int r, int L, int R, int val ) {int t = ++ cnt;tree[t].lazy = tree[root].lazy;tree[t].l = tree[root].l;tree[t].r = tree[root].r;tree[t].sum = tree[root].sum;if ( L <= l && r <= R ) {tree[t].lazy = tree[root].lazy + val;return t;}int mid = ( l + r ) >> 1;if ( L <= mid )tree[t].l = update ( tree[root].l, l, mid, L, R, val );if ( mid < R )tree[t].r = update ( tree[root].r, mid + 1, r, L, R, val );pushup ( t, r - l + 1 );return t; }

區(qū)間修改模板（比較特別）

就用求區(qū)間和為例吧！！
對于有些奇怪的題，區(qū)間是不能pushup和pushdown的，那么就要另辟蹊徑代替lazy上下放

我們采取另一種手段來實現(xiàn)修改查詢操作，就是每次在區(qū)間直接對區(qū)間答案進行修改，
然后如果被劃分到剛剛好的區(qū)間的時候打上lazy即可。
保證了如果區(qū)間有l(wèi)azy那么這整個區(qū)間一定是被完全覆蓋的

對于一次的修改L,R,lazy的標記只存在與L,R之間劃分到的整個區(qū)間,
并且所有不是整區(qū)間的區(qū)間答案在找區(qū)間經(jīng)過的途中都整體增加了該有的值，包括整區(qū)間，
然后每次查詢答案其答案的初始化都是當前區(qū)間的lazy值乘上其區(qū)間大小，
因為如果當前區(qū)間有l(wèi)azy那么一定是整體覆蓋的，并且查詢和修改
要把目標區(qū)間進行劃分，這樣我每次查詢和修改都能維護出合理的答案

int update( int & suf, int pre, int l, int r, int L, int R, int val ){suf = ++ cnt;tree[suf].sum = tree[pre].sum;tree[suf].l = tree[pre].l;tree[suf].r = tree[pre].r;tree[suf].lazy = tree[pre].lazy;tree[suf].sum += 1ll * ( R - L + 1 ) * val;if( L <= l && r <= R ) {tree[suf].lazy += val;return suf;}int mid = ( l + r ) >> 1;if( R <= mid ) //全部都在左兒子區(qū)間 tree[suf].l = update ( tree[suf].l, tree[pre].l, l, mid, L, R, val );else if( mid < L ) //全部都在右兒子區(qū)間 tree[suf].r = update ( tree[suf].r, tree[pre].r, mid + 1, r, L, R, val );else { //左右皆有 tree[suf].l = update ( tree[suf].l, tree[pre].l, l, mid, L, R, val );tree[suf].r = update ( tree[suf].r, tree[pre].r, mid + 1, r, L, R, val );}return suf; }

區(qū)間查詢模板

其實親故們都知道區(qū)間查詢也可以完成單點的，無非就是多傳一個不用的變量罷了
這里假設的是找$[L,R]$之間的最大值

int query ( int L, int R, int num, int l, int r ) {if ( L <= l && r <= R )return tree[num].Max;int mid = ( l + r ) >> 1;int ans1 = - INF, ans2 = - INF;if ( L <= mid )ans1 = query ( L, R, tree[num].l, l, mid );if ( mid < R )ans2 = query ( L, R, tree[num].r, mid + 1, r );return max ( ans1, ans2 ); }

說了這么多，也該是期末學習成果的展示了！！！
只有做題才能更好的掌握運用主席樹模板！

入門題：可持久化線段樹

題目

題目描述
為什么說本題是福利呢？因為這是一道非常直白的可持久化線段樹的練習題，目的并不是虐人，而是指導你入門可持久化數(shù)據(jù)結構。

線段樹有個非常經(jīng)典的應用是處理RMQ問題，即區(qū)間最大/最小值詢問問題。現(xiàn)在我們把這個問題可持久化一下:

Q k l r 查詢數(shù)列在第k個版本時，區(qū)間[l, r]上的最大值
M k p v 把數(shù)列在第k個版本時的第p個數(shù)修改為v，并產(chǎn)生一個新的數(shù)列版本

最開始會給你一個數(shù)列，作為第1個版本。每次M操作會導致產(chǎn)生一個新的版本。
修改操作可能會很多呢，如果每次都記錄一個新的數(shù)列，空間和時間上都是令人無法承受的。
所以我們需要可持久化數(shù)據(jù)結構
對于最開始的版本1，我們直接建立一顆線段樹，維護區(qū)間最大值。

修改操作呢？我們發(fā)現(xiàn)，修改只會涉及從線段樹樹根到目標點上一條樹鏈上logn個節(jié)點而已，其余的節(jié)點并不會受到影響。所以對于每次修改操作，我們可以只重建修改涉及的節(jié)點即可。
需要查詢第k個版本的最大值，那就從第k個版本的樹根開始，像查詢普通的線段樹一樣查詢即可。
要計算好所需空間哦

輸入格式
第一行兩個整數(shù)N, Q。N是數(shù)列的長度，Q表示詢問數(shù)
第二行N個整數(shù)，是這個數(shù)列
之后Q行，每行以0或者1開頭，0表示查詢操作Q，1表示修改操作M，
格式為
0 k l r 查詢數(shù)列在第k個版本時，區(qū)間[l, r]上的最大值 或者
1 k p v 把數(shù)列在第k個版本時的第p個數(shù)修改為v，并產(chǎn)生一個新的數(shù)列版本

輸出格式
對于每個M詢問，輸出正確答案

樣例
input
4 5
1 2 3 4
0 1 1 4
1 1 3 5
0 2 1 3
0 2 4 4
0 1 2 4
output
4
5
4
4
解釋
序列版本1: 1 2 3 4
查詢版本1的[1, 4]最大值為4
修改產(chǎn)生版本2: 1 2 5 4
查詢版本2的[1, 3]最大值為5
查詢版本1的[4, 4]最大值為4
查詢版本1的[2, 4]最大值為4

數(shù)據(jù)范圍與提示
N <= 10000
Q <= 100000
對于每次詢問操作的版本號k保證合法，區(qū)間[l, r]一定滿足1 <= l <= r <= N

簡單題解

說過了這道題是一個入門版題，照著模板打就可以了
對于每一個更改線段樹的操作，我們找到操作途中所經(jīng)過的點，重新建點，
不覆蓋原來的線段樹模樣，對于不變的我們就直接把原來樹上的地址直接甩過去就可以了
記錄下第i個操作的根節(jié)點，每一個線段樹都是不相互影響沖突的，只是有可能會共用一些點罷了。

代碼實現(xiàn)

#include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; #define MAXN 1000005 #define INF 0x7f7f7f7f struct node {int l, r, Max; }tree[MAXN << 2]; int cnt, tot, n, q; int a[MAXN / 10], root[MAXN << 2]; int build ( int l, int r ) {int t = ++ cnt;if ( l == r ) {tree[t].l = tree[t].r = 0;tree[t].Max = a[l];return t;}int mid = ( l + r ) >> 1;tree[t].l = build ( l, mid );tree[t].r = build ( mid + 1, r );tree[t].Max = max ( tree[tree[t].l].Max, tree[tree[t].r].Max );return t; } int update ( int num, int p, int v, int l, int r ) {int t = ++ cnt;if ( l == r ) {tree[t].l = tree[t].r = 0;tree[t].Max = v;return t;}int mid = ( l + r ) >> 1;if ( p <= mid ) {tree[t].l = update ( tree[num].l, p, v, l ,mid );tree[t].r = tree[num].r;}else {tree[t].r = update ( tree[num].r, p, v, mid + 1, r );tree[t].l = tree[num].l;}tree[t].Max = max ( tree[tree[t].l].Max, tree[tree[t].r].Max );return t; } int query ( int L, int R, int num, int l, int r ) {if ( L <= l && r <= R )return tree[num].Max;int mid = ( l + r ) >> 1;int ans1 = - INF, ans2 = - INF;if ( L <= mid )ans1 = query ( L, R, tree[num].l, l, mid );if ( mid < R )ans2 = query ( L, R, tree[num].r, mid + 1, r );return max ( ans1, ans2 ); } int main() {scanf ( "%d %d", &n, &q );for ( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf ( "%d", &a[i] );root[++ tot] = build ( 1, n );for ( int i = 1;i <= q;i ++ ) {int opt, k, p, v;scanf ( "%d %d %d %d", &opt, &k, &p, &v );if ( opt == 0 )printf ( "%d\n", query ( p, v, root[k], 1, n ) );elseroot[++ tot] = update ( root[k], p, v, 1, n );}return 0; }

相信這篇博客會幫助大家更好地理解可持久化線段樹，如果有錯誤的地方歡迎大家指出改正，謝謝，聯(lián)系方式：139紅酒白酒葡萄酒+評論
ヾ(ToT)Bye_Bye
講得好的話點個贊，親(づ￣3￣)づ╭?～

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【用学校抄作业带你走进可持久化线段树(主席树)】可持久化线段树概念+全套模板+例题入门：[福利]可持久化线段树)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。