文章目錄

• T1：數字配對
• • 題目
  • 題解
  • CODE
• T2：新生舞會
• • 題目
  • 題解
  • CODE（最大費用最大流版）
  • CODE（最小費用最大流版）

T1：數字配對

題目

有 n 種數字，第 i 種數字是 ai、有 bi 個，權值是 ci。
若兩個數字 ai、aj 滿足，ai 是 aj 的倍數，且 ai/aj 是一個質數，
那么這兩個數字可以配對，并獲得 ci×cj 的價值。
一個數字只能參與一次配對，可以不參與配對。
在獲得的價值總和不小于 0 的前提下，求最多進行多少次配對

Input
第一行一個整數 n。
第二行 n 個整數 a1、a2、……、an。
第三行 n 個整數 b1、b2、……、bn。
第四行 n 個整數 c1、c2、……、cn。
Output
一行一個數，最多進行多少次配對

Sample Input
3
2 4 8
2 200 7
-1 -2 1
Sample Output
4

Hint
$n\le 200，ai\le 10^9，bi\le 10^5，\mid ci\mid \le 10^5$

題解

首先我們考慮如何判斷$ai/aj$為質數，肯定的我們把$ai$和$aj$進行標準的唯一質因數分解
$aj$的所有因數$ai$都有，并且$aj$的每一個因數的冪$\le$該因數在$ai$中的冪，這樣才能保證$ai\%aj==0$

那么接下來就判斷$ai/aj$等于一個質數，其實就是對于一個質因數$x$，設$x$在$aj$中的冪為$m1$，在$ai$中的冪為$m2$，滿足$m1==m2||m1==m2?1$且只會有一個質因數在$aj$的冪小于$ai$中的冪其他的都是等于，不然兩個質因數乘起來還是一個合數

---

但是我們在建圖時會遇到一個問題，如果每一個點都與超級源點和超級匯點建邊，有可能直接就只流了該點與源點的邊馬上就流回了匯點，并沒有與其他點產生關系

那么我們為了避免這個問題，就抓住$ai/aj$為一個質數的特殊性，我們發現$ai$的所有質因數的冪的和一定等于$aj$的所有質因數的冪的和$+1$

所以如果兩個數的質因數的冪的和都是奇數或者都是偶數，那么兩數之間一定是不會滿足關系的，和至少都差了2，那么我們就把奇數劃分成一個區域，與源點建邊，流量就是個數，偶數劃分成一個區域與匯點建邊，流量也是個數，奇數和偶數之間判斷冪的和是否只差1，滿足的就建邊，費用就是能獲得的貢獻，流量就流無限

CODE

#include <queue> #include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; #define INF 1e9 #define int long long #define MAXN 500 struct node {int v, w, next, c, flow; }edge[MAXN * MAXN]; queue < int > q; int cnt, n, m, s, t; int head[MAXN], dis[MAXN], pre[MAXN], a[MAXN], v[MAXN], tot[MAXN]; bool vis[MAXN];void add ( int x, int y, int flow, int cost ) {edge[cnt].next = head[x];edge[cnt].v = y;edge[cnt].w = cost;edge[cnt].c = flow;edge[cnt].flow = 0;head[x] = cnt ++; }bool spfa () {memset ( vis, 0, sizeof ( vis ) ); memset ( dis, -0x7f, sizeof ( dis ) );memset ( pre, -1, sizeof ( pre ) );while ( ! q.empty() )q.pop();q.push( s );dis[s] = 0;vis[s] = 1;while ( ! q.empty() ) {int u = q.front();q.pop();vis[u] = 0;for ( int i = head[u];~ i;i = edge[i].next ) {int v = edge[i].v;if ( dis[v] < dis[u] + edge[i].w && edge[i].c > edge[i].flow ) {dis[v] = dis[u] + edge[i].w;pre[v] = i;if ( ! vis[v] ) {q.push( v );vis[v] = 1;}}}} return pre[t] != -1; }int Fabs ( int x ) {if ( x < 0 )return -x;return x; }void MCMF ( int &maxflow, int &mincost ) {maxflow = mincost = 0;while ( spfa() ) {int MIN = INF;for ( int i = pre[t];~ i;i = pre[edge[i ^ 1].v] )MIN = min ( MIN, edge[i].c - edge[i].flow );if ( mincost + MIN * dis[t] < 0 ) {//不能流完就盡量流，因為這個delta是單峰，一旦下降便不會在上升 maxflow += ( mincost / -dis[t] );break;}maxflow += MIN;for ( int i = pre[t];~ i;i = pre[edge[i ^ 1].v] ) {edge[i].flow += MIN;edge[i ^ 1].flow -= MIN;mincost += MIN * edge[i].w;}} }signed main() {memset ( head, -1, sizeof ( head ) );scanf ( "%lld", &n );for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf ( "%lld", &a[i] );int x = a[i];for ( int j = 2;j * j <= x;j ++)while ( x % j == 0 ) {x /= j;tot[i] ++;}if ( x != 1 )tot[i] ++;}s = 0;t = n + 1;for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int w;scanf ( "%lld", &w );if ( tot[i] & 1 ) {add ( s, i, w, 0 );add ( i, s, 0, 0 );}else {add ( i, t, w, 0 );add ( t, i, 0, 0 );}}for ( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf ( "%lld", &v[i] );for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if ( tot[i] & 1 ) {for ( int j = 1;j <= n;j ++ )if ( Fabs ( tot[i] - tot[j] ) == 1 && ( a[i] % a[j] == 0 || a[j] % a[i] == 0 ) ) {add ( i, j, INF, v[i] * v[j] );add ( j, i, 0, - ( v[i] * v[j] ) );}}}int maxflow, mincost;MCMF ( maxflow, mincost );printf ( "%lld", maxflow );return 0; }

T2：新生舞會

題目

學校組織了一次新生舞會，Cathy作為經驗豐富的老學姐，負責為同學們安排舞伴。有n個男生和n個女生參加舞會
買一個男生和一個女生一起跳舞，互為舞伴。Cathy收集了這些同學之間的關系，比如兩個人之前認識沒計算得出 a[i][j] ，表示第i個男生和第j個女生一起跳舞時他們的喜悅程度。Cathy還需要考慮兩個人一起跳舞是否方便，比如身高體重差別會不會太大，計算得出 b[i][j]，表示第i個男生和第j個女生一起跳舞時的不協調程度。
當然，還需要考慮很多其他問題。Cathy想先用一個程序通過a[i][j]和b[i][j]求出一種方案，再手動對方案進行微調。Cathy找到你，希望你幫她寫那個程序。一個方案中有n對舞伴，假設沒對舞伴的喜悅程度分別是a’1,a’2,…,a’n，
假設每對舞伴的不協調程度分別是b’1,b’2,…,b’n。令
C=(a’1+a’2+…+a’n)/(b’1+b’2+…+b’n),Cathy希望C值最大

Input
第一行一個整數n。
接下來n行，每行n個整數，第i行第j個數表示a[i][j]。
接下來n行，每行n個整數，第i行第j個數表示b[i][j]。
1<=n<=100,1<=a[i][j],b[i][j]<=10^4
Output
一行一個數，表示C的最大值。四舍五入保留6位小數，選手輸出的小數需要與標準輸出相等

Sample Input
3
19 17 16
25 24 23
35 36 31
9 5 6
3 4 2
7 8 9
Sample Output
5.357143

題解

轉化一下答案，即
$$C=\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i}$$
–>
$$C\sum _{i=1}^n{b}_i=\sum _{i=1}^n{a}_i$$
–>
$$\sum _{i=1}^n{a}_i?C\sum _{i=1}^n{b}_i=0$$
所以我們可以考慮二分答案$C$，判斷${\sum }_{i=1}^n{a}_i?C{\sum }_{i=1}^n{b}_i\ge 0$，
男生與超級源點建邊，女生與超級匯點建邊，男女生之間的建邊就是$a_{ij}?x{b}_{ij}$的費用
跑一個最大費用最大流，

分享另一個想法：我們可以將以上的思路全部去一個反，就變成判斷${\sum }_{i=1}^n{a}_i?C{\sum }_{i=1}^n{b}_i<0$那就是跑最小費用最大流

仙女都給了代碼，

CODE（最大費用最大流版）

#include <queue> #include <vector> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; #define eps 1e-7 #define INF 2e9 #define MAXM 200005 #define MAXN 105 queue < int > q; int cnt, n, s, t; int head[MAXN * 10], pre[MAXN * 10]; double dis[MAXM], w[MAXM], c[MAXM], flow[MAXM]; int a[MAXN][MAXN], b[MAXN][MAXN], v[MAXM], nxt[MAXM]; bool vis[MAXM];void add ( int x, int y, double flow_, double cost ) {nxt[cnt] = head[x];v[cnt] = y;w[cnt] = cost;c[cnt] = flow_;flow[cnt] = 0;head[x] = cnt ++; }bool spfa () {for ( int i = s;i <= t;i ++ ) {dis[i] = -INF;pre[i] = -1;}q.push( s );dis[s] = 0;vis[s] = 1;while ( ! q.empty() ) {int u = q.front();q.pop();vis[u] = 0;for ( int i = head[u];~ i;i = nxt[i] ) {if ( dis[v[i]] < dis[u] + w[i] && c[i] > flow[i] ) {dis[v[i]] = dis[u] + w[i];pre[v[i]] = i;if ( ! vis[v[i]] ) {q.push( v[i] );vis[v[i]] = 1;}}}}return pre[t] != -1; }bool MCMF () {double mincost = 0;while ( spfa() ) {for ( int i = pre[t];~ i;i = pre[v[i ^ 1]] ) {flow[i] ++;flow[i ^ 1] --;}mincost += dis[t];}return mincost >= 0; }int main() {scanf ( "%d", &n );s = 0;t = n << 1 | 1;double sum = 0;for ( int i = 1;i <= n;i ++ )for ( int j = 1;j <= n;j ++ ) {scanf ( "%d", &a[i][j] ); sum += a[i][j];}for ( int i = 1;i <= n;i ++ )for ( int j = 1;j <= n;j ++ )scanf ( "%d", &b[i][j] );double l = 0, r = sum;while ( r - l > eps ) {double mid = ( l + r ) / 2;memset ( head, -1, sizeof ( head ) );cnt = 0;for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {add ( s, i, 1, 0 );add ( i, s, 0, 0 );add ( i + n, t, 1, 0 );add ( t, i + n, 0, 0 );}for ( int i = 1;i <= n;i ++ )for ( int j = 1;j <= n;j ++ ) {add ( i, j + n, 1, a[i][j] * 1.0 - 1.0 * b[i][j] * mid );add ( j + n, i, 0, - ( a[i][j] * 1.0 - 1.0 * b[i][j] * mid ) );}if ( MCMF() )l = mid;elser = mid;}printf ( "%.6f", l );return 0; }

CODE（最小費用最大流版）

#include <queue> #include <vector> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; #define eps 1e-7 #define INF 2e9 #define MAXM 200005 #define MAXN 105 queue < int > q; int cnt, n, s, t; int head[MAXN * 10], pre[MAXN * 10]; double dis[MAXM], w[MAXM], c[MAXM], flow[MAXM]; int a[MAXN][MAXN], b[MAXN][MAXN], v[MAXM], nxt[MAXM]; bool vis[MAXM];void add ( int x, int y, double flow_, double cost ) {nxt[cnt] = head[x];v[cnt] = y;w[cnt] = cost;c[cnt] = flow_;flow[cnt] = 0;head[x] = cnt ++; }bool spfa () {for ( int i = s;i <= t;i ++ ) {dis[i] = INF;pre[i] = -1;}q.push( s );dis[s] = 0;vis[s] = 1;while ( ! q.empty() ) {int u = q.front();q.pop();vis[u] = 0;for ( int i = head[u];~ i;i = nxt[i] ) {if ( dis[v[i]] > dis[u] + w[i] && c[i] > flow[i] ) {dis[v[i]] = dis[u] + w[i];pre[v[i]] = i;if ( ! vis[v[i]] ) {q.push( v[i] );vis[v[i]] = 1;}}}}return pre[t] != -1; }bool MCMF () {double mincost = 0;while ( spfa() ) {for ( int i = pre[t];~ i;i = pre[v[i ^ 1]] ) {flow[i] ++;flow[i ^ 1] --;}mincost += dis[t];}return mincost < 0; }int main() {scanf ( "%d", &n );s = 0;t = n << 1 | 1;double sum = 0;for ( int i = 1;i <= n;i ++ )for ( int j = 1;j <= n;j ++ ) {scanf ( "%d", &a[i][j] ); sum += a[i][j];}for ( int i = 1;i <= n;i ++ )for ( int j = 1;j <= n;j ++ )scanf ( "%d", &b[i][j] );double l = 0, r = sum;while ( r - l > eps ) {double mid = ( l + r ) / 2;memset ( head, -1, sizeof ( head ) );cnt = 0;for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {add ( s, i, 1, 0 );add ( i, s, 0, 0 );add ( i + n, t, 1, 0 );add ( t, i + n, 0, 0 );}for ( int i = 1;i <= n;i ++ )for ( int j = 1;j <= n;j ++ ) {add ( i, j + n, 1, - ( a[i][j] * 1.0 - 1.0 * b[i][j] * mid ) );add ( j + n, i, 0, a[i][j] * 1.0 - 1.0 * b[i][j] * mid );}if ( MCMF() )l = mid;elser = mid;}printf ( "%.6f", l );return 0; }

byebye，點個贊

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[费用流]数字配对，新生舞会的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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