文章目錄

• 題目
• 題解
• code

題目

九連環是一種源于中國的傳統智力游戲。

如圖所示，九個的圓環套在一把“劍”上，并且互相牽連。游戲的目標是把九個圓環全部從“劍”上卸下。
圓環的裝卸需要遵守兩個規則
1．第一個（最右邊）環任何時候都可以任意裝上或卸下
2．如果第k個環沒有被卸下，且第k個環右邊的所有環都被卸下，則第k+l個環（第k個環左邊相鄰的環）
可以任意裝上或卸下與魔方的千變萬化不同，解九連環的最優策略是唯一的。
為簡單起見，我們以“四連環”為例，演示這一過程。這里用1表示環在“劍”上，0表示環已經卸下。
初始狀態為1111，每步的操作如下

1101（根據規則2卸下第2個環）

1100（根據規則1卸下第1個環）

0100（根據規則2卸下第4個環）

0101（根據規則1裝上第1個環）

0111（根據規則2裝上第2個環）

0110（根據規則1卸下第1個環）

0010（根據規則2卸下第3個環）

0001（根據規則1裝上第1個環）

0001（根據規則2卸下第2個環）

0000（根據規則1卸下第1個環）

由此可見，卸下“四連環”至少需要10步。
隨著環數增加，需要的步數也會隨之增多。例如卸下九連環．就至少需要341步。
請你計算，有n個環的情況下，按照規則，全部卸下至少需要多少步

Input
輸入文件第一行，為一個整數m，表示測試點數目。
接下來m行，每行一個整數n。
1≤n≤10^5，1≤m≤10
Output
輸出文件共m行，對應每個測試點的計算結果

Sample Input
3
3
5
9
Sample Output
5
21
341

題解

直接給遞推式$f(n)=f(n?1)+2?f(n?2)+1$，結論就是$\frac{2^{n+1}}{3}$

---

從三個不同的方向走向一起：
$1.$買一本高中數學必修5，里面有九連環的結論詳細證明

---

$2.$打表發現規律

n1234567

	1	2	5	10	21	42	85

轉換成二進制，規律越發明顯

n1234567

	1	2	5	10	21	42	85
	1	10	101	1010	10101	101010	1010101

好看吧！發現$1,0$是不相鄰的，就可以考慮二進制乘法，竹格利茲
$\begin{array}{r}1010101\\ \times 11\\ 1010101\\ 1010101\\ 11111111\\ =(2^{7+1}?1)\end{array}$

$\begin{array}{r}101010\\ \times 11\\ 101010\\ 101010\\ 1111110\\ =(2^{6+1}?2)\end{array}$
總結一下就是
$$\frac{2^{n+1}}{3}$$

---

$3.$感性理解，觀看四連環的例子，我們發現首先是把四連環$1111$變成兩連環$1100$，然后就可以把$n$環拿走，然后用同樣的步數變回四連環$0111$，然后就是同理去拿走$n?1$環，所以我們設$f(n)$表示$n$連環的方案數，那么可以表示成拿走$n?2$環的方案數然后把拿走最后一個環，把最右邊的第一個環裝回來$+1$，再用同樣的步數變成$n?2$環的方案數，繼續處理$n?1$環的方案數
$$f(n)=f(n?1)+2?f(n?2)+1$$

---

$1\le n\le 10^5$，所以就要高精啦，然后再套一個$FFT$優化，看代碼吧，如果有任何不懂的，歡迎評論

code

#include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> using namespace std; #define MAXN 80005 struct complex {double real, i;complex () {}complex ( double x, double y ) {real = x;i = y;} }; complex operator + ( complex a, complex b ) {return complex ( a.real + b.real, a.i + b.i ); } complex operator - ( complex a, complex b ) {return complex ( a.real - b.real, a.i - b.i ); } complex operator * ( complex a, complex b ) {return complex ( a.real * b.real - a.i * b.i, a.real * b.i + b.real * a.i ); } double pi = acos ( -1.0 );int rev[MAXN];void FFT ( complex *c, int f, int len ) {for ( int i = 0;i < len;i ++ )if ( i < rev[i] )swap ( c[i], c[rev[i]] );for ( int i = 1;i < len;i <<= 1 ) {complex omega ( cos ( pi / i ), f * sin ( pi / i ) );for ( int j = 0;j < len;j += ( i << 1 ) ) {complex w ( 1, 0 );for ( int k = 0;k < i;k ++, w = w * omega ) {complex x = c[j + k], y = w * c[i + j + k];c[j + k] = x + y;c[i + j + k] = x - y;}}} }struct big {int g[MAXN], len;big () {memset ( g, 0, sizeof ( g ) );len = 0;}big ( int x ) {memset ( g, 0, sizeof ( g ) );len = 0;if ( ! x ) {len = 1;return;}while ( x ) {g[len ++] = x % 10;x /= 10;}}big operator *= ( const big &b ) {static complex A[MAXN], B[MAXN];int new_len = len + b.len, limit = 1, l = 0;while ( limit < new_len ) {limit <<= 1;l ++;}for ( int i = 0;i < limit;i ++ )rev[i] = ( rev[i >> 1] >> 1 ) | ( ( i & 1 ) << ( l - 1 ) );for ( int i = 0;i < limit;i ++ ) {A[i] = complex ( i < len ? g[i] : 0, 0 );B[i] = complex ( i < b.len ? b.g[i] : 0, 0 );}FFT ( A, 1, limit );FFT ( B, 1, limit );for ( int i = 0;i < limit;i ++ )A[i] = A[i] * B[i];FFT ( A, -1, limit );static int ans[MAXN];for ( int i = 0;i < limit;i ++ )ans[i] = ( int ) ( A[i].real / limit + 0.5 );for ( int i = 0;i < limit;i ++ )if ( ans[i] > 9 ) {ans[i + 1] += ans[i] / 10;ans[i] %= 10;}-- limit;while ( limit > 0 && ans[limit] == 0 )limit --;len = ++ limit;for ( int i = 0;i < limit;i ++ )g[i] = ans[i];}big operator /= ( int x ) {int sum = 0, new_len = 0;for ( int i = len - 1;i >= 0;i -- ) {sum = ( sum << 1 ) + ( sum << 3 ) + g[i];if ( sum < x )g[i] = 0;else {if ( ! new_len ) new_len = i + 1;g[i] = sum / x;sum %= x;}}len = max ( new_len, 1 );}void print () {for ( int i = len - 1;i >= 0;i -- )printf ( "%d", g[i] );printf ( "\n" );} }result, tmp;int main() {int m, n;scanf ( "%d", &m );while ( m -- ) {scanf ( "%d", &n );n ++;result = ( 1 ), tmp = ( 2 );while ( n ) {if ( n & 1 )result *= tmp;tmp *= tmp;n >>= 1;}result /= 3;result.print();}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[CQOI]九连环（FFT优化+高精）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。