文章目錄

• 前言
• 李超樹
• • 引入(斜率優化)
  • 什么是李超樹？
  • 李超樹活著能干點什么？
• 算法思想(使用手冊？)
• • 插入
  • 查詢
• 模板
• • 判斷是否覆蓋(優不優)
  • 插入
  • 查詢
• 例題
• • 板題：BlueMary開公司
  • • 分析
    • code
  • 線段游戲
  • • 分析
    • code
• 拓展——(動態開點李超樹維護凸包)
• • ZZH的旅行
  • • solution
    • code

前言

最近兩場xie教練的考試都拉到了動態維護多條直線求最值的凸包問題
然后很愉快的一道都做不出來呢
所以學習了一下下，就寫了個小博客

李超樹

引入(斜率優化)

學習了$c++$，就必少不了$dp$的花式玩法
也就不會錯過各種$O(1),O(log)$的優化
前綴和…斜率優化…單調隊列…單調?！?/p>

---

我們看一個$dp$狀態轉移方程式
$dp[i]=max\{dp[j]+b_i?a_j+a[i]\},j<i$

一般這種長相，噢不，準確來說，很多$dp$的這種長相，都會跟凸包掛鉤

因為出題人不想考那么板的dp送分，就只能搞搞單調讓你優化
而我們目前已知的解決凸包就是斜率優化

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假設題目保證$a_i$遞增

假設$j<k<i$且決策點$j$優于決策點$k$，則有
$$dp[j]+b_i?a_j+a[i]>dp[k]+b_i?a_k+b[i]①$$$$dp[j]?dp[k]>b_i?(a_k?a_j)②$$題目保證$a$單增，即$a_k?a_j>0$，繼續變形得到
$$\frac{dp[j]?dp[k]}{a_k?a_j}>b_i③$$
上述過程其實就是斜率優化的推導過程，這種情況下我們仍然可以吃老本——走斜率優化

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但是，如果題目不保證$a_i$單調呢？？這個時候，斜率優化可以慢走不送了

這個條件去掉后，為什么斜率優化不行了呢？？
再回到上面的推導過程，②能推導出③，實際上是把$a_k?a_j$除了過去
也就是說我們是肯定了$a_k?a_j$的符號才敢這樣轉移
一旦不確定了，大于小于符號就會錯亂，無法斜率優化
ps：我剛剛偷換了一下，我把單增變成了題目不保證單調，因為單減也是可以斜率優化的

所以斜率優化是建立在單調的基礎上的

---

此時我們怎么辦呢？？

暴力的氣息撲面而來

祈禱數據會有單調的(概率：0.00…01%) 除非你是出數據的

亂搞

其它優秀的做法

我們的主角當當當————李超樹！！！！yyds！

什么是李超樹？

李超樹 額(⊙﹏⊙)…按xie教練的話就是——懶標記永久化的線段樹

明明就是個懶標記永久化，搞不懂為什么要專門取個名字叫李超樹 ·····················——xie教練

管他的，反正我們不需要了解，它能有點用才是我們關注的！

李超樹活著能干點什么？

維護一段區間的多條直線

支持單點查詢多條直線的極值，如查詢$x$處的多條直線的縱坐標最大值

支持區間查詢直線極值，如查詢區間$[l,r]$中各直線最值的最大值

本篇博客僅從“單點查詢多條直線的極值”入手，因為博主目前只會這一種

只要你能寫出 $f[i]=max/min(f[j]?h(i)+g[j])+t(i)$
搞那么復雜干什么， 其實就是你能寫出一條一次函數的解析式 $y=kx+b$
李超樹就能硬剛！

算法思想(使用手冊？)

維護上凸包和下凸包差不多，我們以維護最大值為例

李超樹每個區間記錄的是該區間中點$mid$處的最大/小函數值對應的函數

插入

分兩種情況

完全覆蓋

新的紅線在$[l,r]$區間上完全優于原來該區間存的直線，那么將直接進行全覆蓋
然后就$return$，不用去更新左右子樹
至于為什么？跟查詢寫法有關，也跟部分覆蓋掛鉤
因為此時更新后如果沒有出現部分覆蓋的情況，查詢我們也會查到這條直線的值
如果出現了部分覆蓋的情況，此時的紅線就會部分下放更新
反正此時的黃線已經是個廢物了，只需要知道這點就o了

部分覆蓋
2-1.

首先這個區間$[l,r]$存的直線與$mid$掛鉤，此時紅線在$mid$處的函數值優于黃線
所以李超線段樹$[l,r]$這一個區間就會存紅線的解析式
那這個黃線呢？？它也并不是全無用，我們需要繼續遞歸右子樹，去更新藍色部分的區間

2-2.

此時紅線在$mid$處的函數值劣于黃線，李超線段樹$[l,r]$這一個區間的解析式仍然是黃線
但這個紅線呢？？也并不是全無用，我們需要繼續遞歸做子樹，去更新藍色部分的區間

這三種情況怎么判斷呢？就是怎么寫呢？
很簡單——直線是單調的
我們只需要掌握$l,mid,r$三個點的兩點函數值就可以了，具體可看模板

查詢

每一個區間都存了一條直線，可能相同也可能不同
一個點被多個區間包含，也就會被多條直線包含
所以我們一路上下來遇到的每一個區間都要算一次$x$對應的函數值，取最大值
有可能先遇到的直線的函數值比后遇到的直線的函數值還小，這是有可能的
因為那些區間的函數解析式是根據那些區間的中點$mi{d}_i$的函數值決定的
誰管你這個小蝦皮
舉個栗子

這一路上涉及到的四個點的每一條解析式(黑線)都要把$x$帶進去算出$y_1,y_2,y_3,y_4$

模板

判斷是否覆蓋(優不優)

double calc( node num, int x ) {return num.k * x + num.b; }bool cover( node old, node New, int x ) {return calc( old, x ) <= calc( New, x ); }

插入

void insert( int num, int l, int r, node New ) {if( cover( t[num], New, l ) && cover( t[num], New, r ) ) {//新的直線完全覆蓋了原區間的最優直線 t[num] = New;return;}if( l == r ) return;int mid = ( l + r ) >> 1;if( cover( t[num], New, mid ) )//區間[l,r]維護x=mid的最優值 swap( t[num], New );//現在這條直線需要繼續往下去更新左右兒子(如果這條直線更優) if( cover( t[num], New, l ) ) insert( num << 1, l, mid, New );if( cover( t[num], New, r ) )insert( num << 1 | 1, mid + 1, r, New ); }

查詢

這個版本有限制！！！
這個版本有限制！！！
這個版本有限制！！！

也許是我寫法問題
此版本查詢維護的是直線，也就是說每一條直線都會覆蓋到所有的查詢點
我們知道$[l,r]$區間維護的函數解析式是當$x=mid$時，函數值最大的那條解析式
因為每一條線都能覆蓋完，所以每一個區間$[l,r]$都會維護一條直線
于是乎此版本的優化：$x=mid$時直接返回，不再尋找左右兒子
在這個前提下，這個優化才有正確性保障

double query( int num, int l, int r, int x ) {double ans = -1e9;int mid = ( l + r ) >> 1;if( x < mid ) ans = query( num << 1, l, mid, x );if( mid < x ) ans = query( num << 1 | 1, mid + 1, r, x );return max( ans, calc( t[num], x ) ); }

這一個版本維護的是線段，可能只會覆蓋到一部分查詢點

對應的插入操作也會發生改變，$[l,r]$能插入當且僅當$[l,r]$被某條直線完全包含，我們要再寫一個$modify$

void modify( int num, int l, int r, int L, int R, node New ) {if( L > R ) return;if( L <= l && r <= R ) {insert( num, l, r, New );return;}int mid = ( l + r ) >> 1;if( R <= mid ) modify( num << 1, l, mid, L, R, New );else if( mid < L ) modify( num << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, New );else {modify( num << 1, l, mid, L, mid, New );modify( num << 1 | 1, mid + 1, r, mid + 1, R, New );} }

也就是說$[l,r]$區間如果沒有被一條直線完全覆蓋的話，這個區間是沒有存直線的
那么當我們繼續沿用之前的優化，$x=mid$就返回，很可能這段區間壓根沒有直線解析式
所以我們必須繼續詢問左兒子或者右兒子

打破砂鍋問到底

double query( int num, int l, int r, int x ) {double ans;if( l == r ) return calc( t[num], x - 1 );int mid = ( l + r ) >> 1;if( x <= mid ) ans = query( num << 1, l, mid, x );else ans = query( num << 1 | 1, mid + 1, r, x );return max( ans, calc( t[num], x - 1 ) ); }

直線也可看作一條無限長的線段，因此此版本適用范圍廣

如果不是很理解，下面兩道例題就能很好的辨析出來，┏ (゜ω゜)=?
線段游戲的樣例就會發現查詢的寫法不同會有問題，可以分布調試看看

例題

板題：BlueMary開公司

分析

每一個項目看作一條直線，而某一天就是查詢點
依題意可得，每一個項目可以覆蓋每一天，也就是直線覆蓋所有點情況
兩種查詢模板都可以直接上

code

#include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; #define maxn 50005 struct node {double k, b;node(){}node( double K, double B ) {k = K, b = B;} }t[maxn << 2]; int n;double calc( node num, int x ) {return num.k * x + num.b; }bool cover( node old, node New, int x ) {return calc( old, x - 1 ) <= calc( New, x - 1 ); //題目原因 符合要求的x實際上是需要-1才算得出正確收益 }void insert( int num, int l, int r, node New ) {if( cover( t[num], New, l ) && cover( t[num], New, r ) ) {t[num] = New;return;}if( l == r ) return;int mid = ( l + r ) >> 1;if( cover( t[num], New, mid ) )swap( t[num], New );if( cover( t[num], New, l ) ) insert( num << 1, l, mid, New );if( cover( t[num], New, r ) )insert( num << 1 | 1, mid + 1, r, New ); }double query( int num, int l, int r, int x ) {double ans = -1e9;int mid = ( l + r ) >> 1;if( x < mid ) ans = query( num << 1, l, mid, x );if( mid < x ) ans = query( num << 1 | 1, mid + 1, r, x );return max( ans, calc( t[num], x - 1 ) ); } /* 已測試，此寫法依然可過 double query( int num, int l, int r, int x ) {double ans;if( l == r ) return calc( t[num], x - 1 );int mid = ( l + r ) >> 1;if( x <= mid ) ans = query( num << 1, l, mid, x );else ans = query( num << 1 | 1, mid + 1, r, x );return max( ans, calc( t[num], x - 1 ) ); } */ int main() {scanf( "%d", &n );while( n -- ) {char opt[10]; int k, b, t;scanf( "%s", opt );if( opt[0] == 'Q' ) {scanf( "%d", &t );printf( "%d\n", int( query( 1, 1, maxn, t ) / 100 ) );}else {double k, b;scanf( "%lf %lf", &b, &k );insert( 1, 1, maxn, node( k, b ) );}} return 0; }

線段游戲

分析

這道題就很特別了，我們維護的不再是一條直線，而是一條線段
這條線段只能覆蓋有限的查詢點，而不能覆蓋的點我們是不能進行求解的

code

#include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; #define maxn 100000 #define inf 0x7f7f7f7f struct node {double k, b;node(){}node( double K, double B ) {k = K, b = B;} }t[( maxn + 5 ) << 2]; int n, m;double calc( node num, int x ) {return num.k * x + num.b; }bool cover( node old, node New, int x ) {return calc( old, x ) < calc( New, x ); }void insert( int num, int l, int r, node New ) {if( cover( t[num], New, l ) && cover( t[num], New, r ) ) {t[num] = New;return;}if( l == r ) return;int mid = ( l + r ) >> 1;if( cover( t[num], New, mid ) )swap( t[num], New );if( cover( t[num], New, l ) )insert( num << 1, l, mid, New );if( cover( t[num], New, r ) )insert( num << 1 | 1, mid + 1, r, New ); }void modify( int num, int l, int r, int L, int R, node New ) {if( L > R ) return;if( l == L && R == r ) {insert( num, l, r, New );return;}int mid = ( l + r ) >> 1;if( R <= mid ) modify( num << 1, l, mid, L, R, New );else if( mid < L ) modify( num << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, New );else {modify( num << 1, l, mid, L, mid, New );modify( num << 1 | 1, mid + 1, r, mid + 1, R, New );} }double query( int num, int l, int r, int x ) {if( l == r ) return calc( t[num], x );double ans;int mid = ( l + r ) >> 1;if( x <= mid ) ans = query( num << 1, l, mid, x );else ans = query( num << 1 | 1, mid + 1, r, x );return max( ans, calc( t[num], x ) ); /* 這種寫法是不對的，原因上面已經分析過了......double ans = -inf;int mid = ( l + r ) >> 1;if( x < mid ) ans = query( num << 1, l, mid, x );if( mid < x ) ans = query( num << 1 | 1, mid + 1, r, x );return max( ans, calc( t[num], x ) ); */ }void build( int num, int l, int r ) {t[num].k = 0, t[num].b = -inf;if( l == r ) return;int mid = ( l + r ) >> 1;build( num << 1, l, mid ), build( num << 1 | 1, mid + 1, r ); }int main() {scanf( "%d %d", &n, &m );build( 1, 1, maxn );int x0, x1, y1, x2, y2, opt;double k, b;for( int i = 1, x1, y1, x2, y2;i <= n;i ++ ) {scanf( "%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2 );if( x1 == x2 ) k = 0, b = max( y2, y1 );else k = ( y2 - y1 ) * 1.0 / ( x2 - x1 ), b = y1 - k * x1;modify( 1, 1, maxn, max( 1, min( x1, x2 ) ), min( maxn, max( x1, x2 ) ), node( k, b ) );}while( m -- ) {scanf( "%d", &opt );if( opt ) {scanf( "%d", &x0 );double ans = query( 1, 1, maxn, x0 );printf( "%.6f\n", ( ans <= -inf ? 0 : ans ) );}else {scanf( "%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2 );if( x1 == x2 ) k = 0, b = max( y2, y1 );else k = ( y2 - y1 ) * 1.0 / ( x2 - x1 ), b = y1 - k * x1;modify( 1, 1, maxn, max( 1, min( x1, x2 ) ), min( maxn, max( x1, x2 ) ), node( k, b ) );}}return 0; }

拓展——(動態開點李超樹維護凸包)

ZZH的旅行

solution

code

有一坨不像我🐎風的快讀快輸代碼，是因為我$T$了，真的?不動了，加了就能$A$

#include <cstdio> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; #define int long long #define maxn 1000005 vector < pair < int, int > > G[maxn]; int n; int aa[maxn], bb[maxn], dep[maxn]; int X[maxn], K[maxn], B[maxn], rt[maxn], dp[maxn]; int son[maxn][2];namespace IO{const int sz=1<<22;char a[sz+5],b[sz+5],*p1=a,*p2=a,*t=b,p[105];inline char gc(){return p1==p2?(p2=(p1=a)+fread(a,1,sz,stdin),p1==p2?EOF:*p1++):*p1++;}template<class T> void read(T& x){x=0; char c=gc();for(;c<'0'||c>'9';c=gc());for(;c>='0'&&c<='9';c=gc())x=x*10+(c-'0');}inline void flush(){fwrite(b,1,t-b,stdout),t=b; }inline void pc(char x){*t++=x; if(t-b==sz) flush(); }template<class T> void print(T x,char c='\n'){if(x==0) pc('0'); int t=0;for(;x;x/=10) p[++t]=x%10+'0';for(;t;--t) pc(p[t]); pc(c);}struct F{~F(){flush();}}f; } using IO::read; using IO::print;int insert( int x, int l, int r, int k, int b, int id ) {if( ! x ) {son[id][0] = son[id][1] = 0;K[id] = k, B[id] = b;return id;}int mid = ( l + r ) >> 1;if( X[mid] * K[x] + B[x] < X[mid] * k + b )swap( K[x], k ), swap( B[x], b );if( l < r ) {if( k >= K[x] ) son[x][1] = insert( son[x][1], mid + 1, r, k, b, id );else son[x][0] = insert( son[x][0], l, mid, k, b, id );}return x; }int query( int x, int l, int r, int id ) {if( ! x ) return -1e18;int ans = K[x] * X[id] + B[x];int mid = ( l + r ) >> 1;if( id <= mid ) ans = max( ans, query( son[x][0], l, mid, id ) );else ans = max( ans, query( son[x][1], mid + 1, r, id ) );return ans; }int merge( int x, int y, int l, int r ) {if( ! x || ! y ) return x + y;int mid = ( l + r ) >> 1;son[x][0] = merge( son[x][0], son[y][0], l, mid );son[x][1] = merge( son[x][1], son[y][1], mid + 1, r );if( K[x] * X[mid] + B[x] < K[y] * X[mid] + B[y] ) swap( K[x], K[y] ), swap( B[x], B[y] );if( l < r ) insert( x, l, r, K[y], B[y], y );return x; }void dfs1( int u, int fa ) {for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i].first, w = G[u][i].second;if( v == fa ) continue;else dep[v] = dep[u] + w, dfs1( v, u );} }void dfs2( int u, int fa ) {for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i].first;if( v == fa ) continue;else dfs2( v, u ), rt[u] = merge( rt[u], rt[v], 1, n );}dp[u] = max( 0ll, query( rt[u], 1, n, lower_bound( X + 1, X + n + 1, aa[u] + dep[u] ) - X ) );rt[u] = insert( rt[u], 1, n, bb[u], dp[u] - bb[u] * dep[u], u ); }signed main() {read( n );for( int i = 1;i <= n;i ++ )read( aa[i] ), read( bb[i] );for( int i = 1, u, v, d;i < n;i ++ ) {read( u ), read( v ), read( d );G[u].push_back( make_pair( v, d ) );G[v].push_back( make_pair( u, d ) );}dfs1( 1, 0 );for( int i = 1;i <= n;i ++ )X[i] = aa[i] + dep[i];sort( X + 1, X + n + 1 );dfs2( 1, 0 );for( int i = 1;i <= n;i ++ )print( dp[i] );return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【李超树】李超线段树维护凸包(凸壳) (例题：blue mary开公司+线段游戏+ZZH的旅行)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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