description

小Y最近在一家金券交易所工作。該金券交易所只發行交易兩種金券：A紀念券（以下簡稱A券）和 B紀念券（以下簡稱B券）。每個持有金券的顧客都有一個自己的帳戶。金券的數目可以是一個實數。每天隨著市場的起伏波動，兩種金券都有自己當時的價值，即每一單位金券當天可以兌換的人民幣數目。我們記錄第 K 天中 A券 和 B券 的價值分別為 AK 和 BK（元/單位金券）。為了方便顧客，金券交易所提供了一種非常方便的交易方式：比例交易法。比例交易法分為兩個方面：（a）賣出金券：顧客提供一個 [0,100] 內的實數 OP 作為賣出比例，其意義為：將 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以當時的價值兌換為人民幣；（b）買入金券：顧客支付 IP 元人民幣，交易所將會兌換給用戶總價值為 IP 的金券，并且，滿足提供給顧客的A券和B券的比例在第 K 天恰好為 RateK；例如，假定接
下來 3 天內的 Ak、Bk、RateK 的變化分別為：

假定在第一天時，用戶手中有 100元 人民幣但是沒有任何金券。用戶可以執行以下的操作：

注意到，同一天內可以進行多次操作。小Y是一個很有經濟頭腦的員工，通過較長時間的運作和行情測算，他已經知道了未來N天內的A券和B券的價值以及Rate。他還希望能夠計算出來，如果開始時擁有S元錢，那么N天后最多能夠獲得多少元錢。

Input
輸入第一行兩個正整數N、S，分別表示小Y能預知的天數以及初始時擁有的錢數。接下來N行，第K行三個實數AK、BK、RateK，意義如題目中所述
對于100%的測試數據，滿足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤0^9。
【提示】
1.輸入文件可能很大，請采用快速的讀入方式。
2.必然存在一種最優的買賣方案滿足：
每次買進操作使用完所有的人民幣；
每次賣出操作賣出所有的金券。

Output
只有一個實數MaxProfit，表示第N天的操作結束時能夠獲得的最大的金錢數目
答案保留3位小數。

Sample Input
3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3
Sample Output
225.000
Hint

solution

乍一看跟以前做過的股票交易挺像的，這個式子長得就斜率優化誘惑

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Step1
貪心。。。
在某一天要么買股票把錢買完，要么賣股票把股票賣完
不會有人賺錢只賺一半就跑了吧

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Step2
考慮列出狀態轉移方程
設$f_i$表示$i$天能賺的最多的錢，$a_i$為$i$天最多能買的$A$股票數，$b_i$為$i$天最多能買的$B$股票數
①在$i$天買入股票$$a_i=\frac{f_i\times Rat{e}_i}{A_i\times Rat{e}_i+B_i},b_i=\frac{f_i}{A_i\times Rat{e}_i+B_i}$$
②在$i$天不買不賣
$$f_i=max(f_i,f_{i?1})$$
③在$i$天賣股票，枚舉在$j$天買入的股票
$$f_i=max\{a_j?A_i+b_j?B_i\}$$
對式子進行變形
$$f_i=max\{B_i\times (\frac{A_i}{B_i}?a_j+b_j)\}$$

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Step3
李超線段樹維護凸包
將$f_i$的式子看作直線$kx+b$
$k=a_j,x=\frac{A_i}{B_i},b=b_j$

code

#include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define maxn 100005 int n; double ans; double A[maxn], B[maxn], Rate[maxn], c[maxn], x[maxn], k[maxn], b[maxn]; int t[maxn << 2];double calc( int i, int pos ) {return k[i] * x[pos] + b[i]; }void modify( int num, int l, int r, int id ) {if( l == r ) {if( calc( id, l ) > calc( t[num], l ) ) t[num] = id;return;}int mid = ( l + r ) >> 1;if( calc( id, mid ) > calc( t[num], mid ) ) swap( t[num], id );if( calc( id, l ) > calc( t[num], l ) ) modify( num << 1, l, mid, id );if( calc( id, r ) > calc( t[num], r ) ) modify( num << 1 | 1, mid + 1, r, id ); }double query( int num, int l, int r, int pos ) {if( l == r ) return calc( t[num], pos );int mid = ( l + r ) >> 1;if( pos <= mid ) return max( calc( t[num], pos ), query( num << 1, l, mid, pos ) );else return max( calc( t[num], pos ), query( num << 1 | 1, mid + 1, r, pos ) ); }int main() {scanf( "%d %lf", &n, &ans );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%lf %lf %lf", &A[i], &B[i], &Rate[i] );x[i] = c[i] = A[i] / B[i];}sort( x + 1, x + n + 1 );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int p = lower_bound( x + 1, x + n + 1, c[i] ) - x;ans = max( ans, B[i] * query( 1, 1, n, p ) );double g = A[i] * Rate[i] + B[i];k[i] = ans * Rate[i] / g, b[i] = ans / g;modify( 1, 1, n, i );}printf( "%.3f\n", ans );return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[NOI2007] 货币兑换 （dp+李超树维护凸包）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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