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設(shè)$d{p}_{i,j}$：把前$i$個數(shù)劃分$j$段的最小花費，$w_{i,j}$：$[i,j]$劃分為一段的花費
$$d{p}_{i,j}=min(dp[k][j?1]+w[k+1][i])，k<i$$

而這個轉(zhuǎn)移是具有決策單調(diào)性的
換言之，$?i_1<i_2$，且$i_1$由$k_1$轉(zhuǎn)移而來，$i_2$由$k_2$轉(zhuǎn)移而來，則必有$k_1\le k_2$

證明一下，假設(shè)$k_1>k_2$
由條件可以列得
$$\{\begin{array}{r}dp(k_1,j?1)+w(k_1+1,i_1)\le dp(k_2,j?1)+w(k_2+1,i)\\ dp(k_2,j?1)+w(k_2+1,i_2)\le dp(k_1,j?1)+w(k_1+1,i)\end{array}$$
假設(shè)兩個式子都是取的$=$，那么交換$k_1,k_2$不影響
否則至少有一個取了$<$，不防假設(shè)
$$\{\begin{array}{r}dp(k_1,j?1)+w(k_1+1,i_1)\le dp(k_2,j?1)+w(k_2+1,i)\\ dp(k_2,j?1)+w(k_2+1,i_2)<dp(k_1,j?1)+w(k_1+1,i)\end{array}$$
移項得
$$\{\begin{array}{r}w(k_1+1,i_1)?w(k_2+1,i_1)\le dp(k_2,j?1)?dp(k_1,j?1)\\ dp(k_2,j?1)?dp(k_1,j?1)<w(k_1+1,i_2)?w(k_2+1,i_2)\end{array}$$
所以有
$$w(k_1+1,i_1)?w(k_2+1,i_1)<w(k_1+1,i_2)?w(k_2+1,i_2)$$
再移項，最后得
$$w(k_2+1,i_1)?w(k_1+1,i_1)>w(k_2+1,i_2)?w(k_1+1,i_2)$$
這顯然是不成立的，因為$i_1<i_2$，而$w$是跟區(qū)間內(nèi)相同權(quán)值的個數(shù)組合數(shù)有關(guān)
不等號右邊的增長應(yīng)更快，假設(shè)不成立；證明的確具有決策單調(diào)性

分治處理，注意決策點可能并不一定是正中間，可能會有所偏移，直接枚舉即可

#include <cstdio> #include <cstring> #define inf 1e18 #define maxn 100005 #define int long long int n, K, k, curl = 1, curr, cost; int a[maxn], cnt[maxn]; int dp[maxn][25];void Delete( int x ) {cost = cost - cnt[a[x]] + 1;cnt[a[x]] --; }void Add( int x ) {cost = cost + cnt[a[x]];cnt[a[x]] ++; }void calc( int l, int r ) {while( curl < l ) Delete( curl ++ );while( l < curl ) Add( -- curl );while( curr < r ) Add( ++ curr );while( r < curr ) Delete( curr -- ); }//計算[L,R]區(qū)間的dp值 決策點枚舉范圍為[l,r] void solve( int L, int R, int l, int r ) {if( L > R || l > r ) return;int mid = ( L + R ) >> 1, pos, ans = inf;for( int i = l;i <= r;i ++ ) {calc( i + 1, mid );if( ans > dp[i][k - 1] + cost ) ans = dp[i][k - 1] + cost, pos = i;}dp[mid][k] = ans;solve( L, mid - 1, l, pos );solve( mid + 1, R, pos, r ); }signed main() {memset( dp, 0x7f, sizeof( dp ) );dp[0][0] = 0;scanf( "%lld %lld", &n, &K );for( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf( "%lld", &a[i] );for( k = 1;k <= K;k ++ ) solve( 1, n, 0, n - 1 );//決策點i表示[j,i]為一個子段，[i+1,k]為一個子段//所以決策點范圍是[0,n-1]而不是[1,n]printf( "%lld\n", dp[n][K] );return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【CF868F】Yet Another Minimization Problem （决策单调性优化dp+分治）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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