[NOI2014] 魔法森林

題目

按照$a$精靈從小到大排序

按順序插入每一條邊

加入第$i$條邊后的最小代價為$a[i]$加上從$1$到$n$的所有路徑中最大$b$最小的路徑代價

維護邊權 把邊在$LCT$中理解為點？——看題解代碼其實就是建虛點

出現環時 選擇最大的$b$刪去即可

/* 一些不成型的想法：貪心？？怎么貪兩個呢？？——先讓其中一維變成有序再著重貪另一維 私以為此題這樣不可做 passkruskal重構樹——最小生成樹 最小生成樹上的兩點間距離最小LCT維護最小生成樹 a精靈從小到大排序 插入b精靈？？邊權改成點權 構造虛點 */ #include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define maxn 150005 #define inf 0x7f7f7f7f struct node {int u, v, a, b; }edge[maxn]; struct LCT {int f, val, rev, id;int son[2]; }t[maxn]; int n, m, ans = inf; int st[maxn], w[maxn];bool cmp( node x, node y ) {return ( x.a == y.a ) ? ( x.b < y.b ) : ( x.a < y.a ); }bool isroot( int x ) {return t[t[x].f].son[0] == x || t[t[x].f].son[1] == x; }void pushup( int x ) {t[x].id = x, t[x].val = w[x];if( t[x].son[0] && t[t[x].son[0]].val > t[x].val ) {t[x].val = t[t[x].son[0]].val;t[x].id = t[t[x].son[0]].id;}if( t[x].son[1] && t[t[x].son[1]].val > t[x].val ) {t[x].val = t[t[x].son[1]].val;t[x].id = t[t[x].son[1]].id;} }void rotate( int x ) {int fa = t[x].f, Gfa = t[fa].f, k = t[fa].son[1] == x;if( isroot( fa ) ) t[Gfa].son[t[Gfa].son[1] == fa] = x;t[x].f = Gfa;if( t[x].son[k ^ 1] ) t[t[x].son[k ^ 1]].f = fa;t[fa].son[k] = t[x].son[k ^ 1];t[x].son[k ^ 1] = fa;t[fa].f = x;pushup( fa );pushup( x ); }void pushdown( int x ) {if( t[x].rev ) {swap( t[x].son[0], t[x].son[1] );if( t[x].son[0] ) t[t[x].son[0]].rev ^= 1;if( t[x].son[1] ) t[t[x].son[1]].rev ^= 1;t[x].rev = 0;} }void splay( int x ) {int top = 0, y = x;st[++ top] = y;while( isroot( y ) ) st[++ top] = y = t[y].f;while( top ) pushdown( st[top --] );while( isroot( x ) ) {int fa = t[x].f, Gfa = t[fa].f;if( isroot( fa ) ) ( ( t[Gfa].son[0] == fa ) ^ ( t[fa].son[0] == x ) ) ? rotate( x ) : rotate( fa );rotate( x );} }void access( int x ) {for( int son = 0;x;son = x, x = t[x].f ) {splay( x );t[x].son[1] = son;pushup( x );} }int FindRoot( int x ) {access( x );splay( x );while( t[x].son[0] ) {pushdown( x );x = t[x].son[0];}return x; }void MakeRoot( int x ) {access( x );splay( x );t[x].rev ^= 1;pushdown( x ); }void link( int x, int y ) {MakeRoot( x );if( FindRoot( y ) != x ) t[x].f = y; }void split( int x, int y ) {MakeRoot( x );access( y );splay( y ); } bool Union( int x, int y ) {MakeRoot( x );return FindRoot( y ) == x; }int main() {scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1;i <= m;i ++ )scanf( "%d %d %d %d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].a, &edge[i].b );sort( edge + 1, edge + m + 1, cmp );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {w[i + n] = edge[i].b;int u = edge[i].u, v = edge[i].v;if( u == v ) continue;if( Union( u, v ) ) {split( u, v );if( t[v].val <= edge[i].b ) continue;int x = t[v].id;splay( x );t[t[x].son[0]].f = t[t[x].son[1]].f = 0;link( u, i + n ), link( i + n, v );}elselink( u, i + n ), link( i + n, v );if( Union( 1, n ) ) split( 1, n ), ans = min( ans, edge[i].a + t[n].val );}if( ans == inf ) printf( "-1\n" );else printf( "%d\n", ans );return 0; }

[ZJOI2018]歷史

題目

一句話題意： 給出一棵樹,給定每一個點的$access$次數,計算輕重鏈切換次數的最大值,帶修改

先不考慮帶修改的問題

點$u$，只有在$u$子樹里的點進行$access$才會影響答案，并且點獨立，可以分開算

假設$u$的子樹發生了兩次$access$，當且僅當這兩次操作的點分屬于$u$兩個不同兒子的子樹中，答案才會$+1$

要使答案最大，就是盡量讓所有相鄰發生的崛起都來自不同子樹

相當于有$[0,m]$種顏色，每種顏色有$a_i$個，最大化相鄰顏色不同的個數

設$tot={\sum }_{i=0}^m{a}_i,maxx=ma{x}_{i=0}^m\{a_i\}$

答案則為$min\{t?1,2\times (tot?maxx)\}$

考慮先放最多的$maxx$個然后插空，對于剩下的$pos=tot?maxx$個

如果$pos\le maxx?1$，顯然直接插空，貢獻$2\times p$個

如果$pos>maxx?1$，一定可以通過不斷來回插空，達到上界$tot?1$

在$O(n)$的時間搜一遍整棵樹即可

現在加上修改

根據$2\times maxx\ge tot+1$這個分界線處理

為什么這個是分界線？？當滿足這個式子的時候，答案一定取后者$2\times (tot?maxx)$

令$op{t}_i$表示$i$子樹的操作次數和，如果滿足$2\times op{t}_i\ge op{t}_{f{a}_i}+1$，就把$i\to fa$連為實邊，否則為虛邊

為什么這么定義？？因為在這樣的定義下，如果$i$子樹內操作$j$加上權值$w$，其只會影響$j$到根路徑上的點的答案和虛邊關系

因為對于實邊，存在$2(op{t}_i+w)\ge (op{t}_{f{a}_i}+w)+1$，即實邊還是實邊

并且答案$\Delta =2[(op{t}_{f{a}_i}+w)?(op{t}_i+w)]?2[op{t}_{f{a}_i}?op{t}_i]=0$ 是不變的

對于怎么找到路徑上的虛邊，就寫$LCT$，因為這里的操作是類似于$access$的，只不過要判斷一下虛實邊之間的變換

$ans$減去點更新前的答案再加上更新后的答案即可

#include <cstdio> #include <vector> using namespace std; #define int long long #define maxn 400005 struct node {int fa, val, sum, thin_edge_sum;int son[2]; }t[maxn]; vector < int > G[maxn]; int n, m, ans;bool isroot( int x ) {return t[t[x].fa].son[0] == x || t[t[x].fa].son[1] == x; }void pushup( int x ) {t[x].sum = t[x].val + t[t[x].son[0]].sum + t[t[x].son[1]].sum + t[x].thin_edge_sum; } void rotate( int x ) {int fa = t[x].fa, Gfa = t[fa].fa, k = t[fa].son[1] == x;if( isroot( fa ) ) t[Gfa].son[t[Gfa].son[1] == fa] = x;t[x].fa = Gfa;if( t[x].son[k ^ 1] ) t[t[x].son[k ^ 1]].fa = fa;t[fa].son[k] = t[x].son[k ^ 1];t[x].son[k ^ 1] = fa;t[fa].fa = x;pushup( fa );pushup( x ); }void splay( int x ) {while( isroot( x ) ) {int fa = t[x].fa, Gfa = t[fa].fa;if( isroot( fa ) )( ( t[Gfa].son[1] == fa ) ^ ( t[fa].son[1] == x ) ) ? rotate( fa ): rotate( x );rotate( x );} }int calc( int x, int tot, int maxx ) {if( t[x].son[1] ) return ( tot - maxx ) * 2;else if( t[x].val * 2 > tot ) return ( tot - t[x].val ) * 2;else return tot - 1; }void modify( int x, int w ) {splay( x );/*如果想要得到某一個點的tot就應該計算splay里面深度≥它的點的val之和也就是將這個點splay到根后這個點的val加上其右子樹的val和*/int tot = t[x].sum - t[t[x].son[0]].sum;int maxx = t[t[x].son[1]].sum;ans -= calc( x, tot, maxx );t[x].val += w, tot += w, t[x].sum += w;if( maxx * 2 < tot + 1 ) { //實邊變虛邊t[x].thin_edge_sum += maxx;t[x].son[1] = 0;}ans += calc( x, tot, maxx );pushup( x );int son;for( x = t[son = x].fa;x;x = t[son = x].fa ) {splay( x );int tot = t[x].sum - t[t[x].son[0]].sum;int maxx = t[t[x].son[1]].sum;ans -= calc( x, tot, maxx );t[x].thin_edge_sum += w, tot += w, t[x].sum += w;if( maxx * 2 < tot + 1 ) {t[x].thin_edge_sum += maxx;t[x].son[1] = 0;maxx = 0;}if( t[son].sum * 2 > tot ) {t[x].thin_edge_sum -= t[son].sum;t[x].son[1] = son;maxx = t[son].sum;}ans += calc( x, tot, maxx );pushup( x );} }void dfs( int u ) {t[u].sum = t[u].val;int pos = 0, maxx = t[u].val;for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i];if( v == t[u].fa ) continue;t[v].fa = u;dfs( v );t[u].sum += t[v].sum;if( t[v].sum > maxx ) maxx = t[v].sum, pos = v;}ans += min( t[u].sum - 1, ( t[u].sum - maxx ) * 2 );if( maxx * 2 >= t[u].sum + 1 ) t[u].son[1] = pos; //實邊 修改是不會更改貢獻的t[u].thin_edge_sum = t[u].sum - t[u].val - t[t[u].son[1]].sum;//所有虛邊的操作數和 以后是會更改貢獻的 }signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf( "%lld", &t[i].val );for( int i = 1, u, v;i < n;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &u, &v );G[u].push_back( v );G[v].push_back( u ); }dfs( 1 );printf( "%lld\n", ans );for( int i = 1, x, y;i <= m;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &x, &y );modify( x, y );printf( "%lld\n", ans );}return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[LCT动态树] [NOI2014]魔法森林，[ZJOI2018]历史的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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