向量隨機化

• 神奇的矩陣
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• [NOI2013]向量內積
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矩陣既可以看成是一張數位表，也可以看成是若干個行向量或者若干個列向量的向量表

神奇的矩陣

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暴力做$A?B$會達到$n^3$的復雜度，難以接受

考慮，如果對于矩陣$A,B,C$滿足$A?B=C$，顯然有$A?B?R=C?R$

于是有隨機一個$1\times n$的向量$R$，然后check等式是否成立，$A?R?B$就會降成$n^2$的復雜度

隨機多次都無法滿足這個式子，$A?B=C$的概率就微乎其微（除非你是非酋）

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#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long int n;struct matrix {int n, m;int c[1000][1000];matrix() {memset( c, 0, sizeof( c ) );}matrix operator * ( matrix &t ) {matrix ans;ans.n = n, ans.m = t.m;for( int i = 0;i <= n;i ++ )for( int j = 0;j <= t.m;j ++ )for( int k = 0;k <= m;k ++ )ans.c[i][j] += c[i][k] * t.c[k][j];return ans;} }A, B, C, R, ans1, ans2;signed main() {srand( time( 0 ) );next :while( ~ scanf( "%lld", &n ) ) {n --;A.n = A.m = B.n = B.m = C.n = C.m = n;for( int i = 0;i <= n;i ++ )for( int j = 0;j <= n;j ++ )scanf( "%lld", &A.c[i][j] );for( int i = 0;i <= n;i ++ )for( int j = 0;j <= n;j ++ )scanf( "%lld", &B.c[i][j] );for( int i = 0;i <= n;i ++ )for( int j = 0;j <= n;j ++ )scanf( "%lld", &C.c[i][j] );int t = 30;again :while( t -- ) {R.n = 0, R.m = n;for( int i = 0;i <= n;i ++ )R.c[0][i] = rand();ans1 = R * A * B;ans2 = R * C;for( int i = 0;i <= n;i ++ )if( ans1.c[0][i] != ans2.c[0][i] )goto again;printf( "Yes\n" );goto next;}printf( "No\n" );}return 0; }

[NOI2013]向量內積

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• k=2

  • 求出矩陣兩兩內積$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ ，即$Y=A?A^T$
  • 接下來就是判斷$Y=E,E$為全$1$矩陣（$Y_{i,j}$代表著$A$的$i$行向量與$A^T$的$j$列向量也就是原來的$A_j$行向量的內積）因為如果全$1$代表著每兩個向量的內積都為$1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$
    • 判斷方法就是上一題的隨機化
    • 只要不等，就會有一個$0$向量，找到其位置$pos$，最后暴力求每個向量與其的內積是否整除$k$即可

• k=3，此時$A_{i,j}=0/1/2$，不能在使用上述$E$來判斷了

  • 轉換一下即可，$Z_{i,j}=Y_{i,j}^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$，有$1^2\equiv 2^3\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$，只有$0^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$

  • 再次使用$E$來進行判斷

  • 問題在于，$Z$是$Y$每個單項的平方，不是整體的平方，不能使用矩陣快速得到

    • 設$\alpha$是隨機的一個$1\times n$向量

    • $(Z?\alpha {)}_i={\sum }_{j=1}^n{Z}_{i,j}?{\alpha }_j={\sum }_{j=1}^n{Y}_{i,j}^2?{\alpha }_j={\sum }_{j=1}^n{\alpha }_j({\sum }_{k=1}^n{A}_{i,k}{A}_{k,j}^T{)}^2$

      $={\sum }_{j=1}^n{\alpha }_j{\sum }_{k_1=1}^n{A}_{i,k_1}{A}_{k_1,j}^T?{\sum }_{j=1}^n{\alpha }_j{\sum }_{k_2=1}^n{A}_{i,k_2}{A}_{k_2,j}^T$

    • 發現可以變為${\sum }_{k_1,k_2}{A}_{i,k_1}{A}_{i,k_2}?{\sum }_{j=1}^n{\alpha }_j{A}_{k_1,j}{A}_{k_2,j}^T$

      預處理出和$i$無關部分，設$g_{k_1,k_2}={\sum }_{j=1}^n{\alpha }_j{A}_{k_1,j}{A}_{k_2,j}^T$

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define maxn 100005 #define maxd 105 int n, d, k, sum, pos, flag; int x[maxn][maxd], g[maxn][maxd]; int ret[maxd], r[maxn];void calc2() {for( int i = 1;i <= d;i ++ ) ret[i] = 0;for( int i = 1;i <= d;i ++ )for( int j = 1;j <= n;j ++ )ret[i] = ( ret[i] + r[j] * x[j][i] ) % k;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int ans = 0;for( int j = 1;j <= d;j ++ )ans = ( ans + ret[j] * x[i][j] ) % k;if( ans != sum ) {pos = i, flag = 1;break;}} }void calc3() {for( int k1 = 1;k1 <= d;k1 ++ )for( int k2 = 1;k2 <= d;k2 ++ ) {g[k1][k2] = 0;for( int j = 1;j <= n;j ++ )g[k1][k2] = ( g[k1][k2] + r[j] * x[j][k1] % k * x[j][k2] ) % k;}for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int ans = 0;for( int k1 = 1;k1 <= d;k1 ++ )for( int k2 = 1;k2 <= d;k2 ++ )ans = ( ans + x[i][k1] * x[i][k2] % k * g[k1][k2] ) % k;if( ans != sum ) {pos = i, flag = 1;break;}} }signed main() {srand( time( 0 ) );scanf( "%lld %lld %lld", &n, &d, &k );for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = 1;j <= d;j ++ )scanf( "%lld", &x[i][j] ); for( int T = 1;T <= 6;T ++ ) {sum = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ )r[i] = rand() % k, sum = ( sum + r[i] ) % k;if( k == 2 ) calc2();else calc3();if( flag ) break;}if( ! flag ) return ! printf( "-1 -1\n" );else {for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( i ^ pos ) {int ans = 0;for( int j = 1;j <= d;j ++ )ans = ( ans + x[i][j] * x[pos][j] ) % k;if( ! ans ) return ! printf( "%lld %lld\n", min( i, pos ), max( i, pos ) );}}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数一之矩阵转向量随机化求解——神奇的矩阵(BZOJ)+向量内积的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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